Samlagning (brota)
Nota má reikniaðgerðirnar fyrir heilar tölur til að skilgreina reikniaðgerðina samlagningu fyrir almenn brot. Samlagningin úthlutar sérhverjum brotum $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ brotinu $\frac{m}n + \frac{p}q$, sem kallast summa brotanna og er skilgreind með jöfnunni \[ \frac{m}n + \frac{p}q = \frac{m q + p n}{n q}. \] Samlagningu má reyndar framkvæma á hagkvæmari hátt en lýst er í jöfnunni að ofan, sem felst í því að gera brotin samnefnd áður en þau eru lögð saman.
Sérhvert brot $\frac{m}n$ hefur umhverfu með tilliti til samlagningar brota. Hún kallast samlagningarumhverfa brotsins $\frac{m}n$ og er gefin með \[ - \dfrac{m}n = \dfrac{-m}n = \dfrac{m}{-n}. \]
Þar sem sérhverja heila tölu $m$ má rita sem brot á forminu $m = \frac{m}1$, þá er summa heillrar tölu og brots sér í lagi gefin með \[ m + \frac{p}q = \frac{m}1 + \frac{p}q = \frac{m \cdot q + 1 \cdot p}{1 \cdot q} = \frac{m q + p}q. \]
Dæmi:
- Summa brotanna $\frac{19}{21}$ og $\frac{17}{10}$ er \[ \frac{19}{21} + \frac{17}{10} = \frac{19 \cdot 10 + 21 \cdot 17}{10 \cdot 21} = \frac{190 + 357}{210} = \frac{547}{210}. \]
- Summa heilu tölunnar $5$ og brotsins $\frac49$ er \[ 5 + \frac49 = \frac{5 \cdot 9 + 4}9 = \frac{45 + 4}9 = \frac{49}9. \]
Frádráttur (brota)
Frádráttur er reikniaðgerð fyrir almenn brot sem úthlutar sérhverjum brotum $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ brotinu $\frac{m}n - \frac{p}q$. Þetta brot kallast mismunur $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ og hann fæst með því að leggja $\frac{m}n$ við samlagningarumhverfu $\frac{p}q$, þ.e. \[ \frac{m}n - \frac{p}q = \frac{m}n + \left(-\frac{p}q\right) = \frac{m q - p n}{n q}. \]
Þar sem sérhverja heila tölu $m$ má rita sem brot á forminu $m = \frac{m}1$, þá er mismunur heillrar tölu og brots sér í lagi gefinn með \[ m - \frac{p}q = \frac{m}1 - \frac{p}q = \frac{m \cdot q - 1 \cdot p}{1 \cdot q} = \frac{m q - p}q, \] og mismunur brots og heillrar tölur er gefinn með \[ \frac{p}q - m = \frac{p}q - \frac{m}1 = \frac{p \cdot 1 - q \cdot m}{q \cdot 1} = \frac{p - q m}q. \]
Dæmi:
- Mismunur brotanna $\frac{19}{21}$ og $\frac{17}{10}$ er \[ \frac{19}{21} - \frac{17}{10} = \frac{19 \cdot 10 - 21 \cdot 17}{10 \cdot 21} = \frac{190 - 357}{210} = \frac{-167}{210} = -\frac{167}{210}. \]
- Mismunur heilu tölunnar $5$ og brotsins $\frac49$ er \[ 5 - \frac49 = \frac{5 \cdot 9 - 4}9 = \frac{45 - 4}9 = \frac{41}9, \] og mismunur $\frac49$ og $5$ er \[ \frac49 - 5 = \frac{4 - 9 \cdot 5}9 = \frac{4 - 45}9 = \frac{-41}9 = -\frac{41}9. \]
Margföldun (brota)
Nota má reikniaðgerðirnar fyrir heilar tölur til að skilgreina reikniaðgerðina margföldun fyrir almenn brot. Margföldunin úthlutar sérhverjum brotum $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ brotinu $\frac{m}n \cdot \frac{p}q$, sem kallast margfeldi brotanna og er skilgreint með jöfnunni \[ \frac{m}n \cdot \frac{p}q = \frac{m p}{n q}. \]
Sérhvert brot $\frac{m}n$ þar sem $m \neq 0$ hefur umhverfu með tilliti til margföldunar brota. Hún kallast margföldunarumhverfa brotsins $\frac{m}n$ og er gefin með \[ \left(\frac{m}n\right)^{-1} = \frac1{\left(\frac{m}n\right)} = \frac{n}m. \]
Þar sem sérhverja heila tölu $m$ má rita sem brot á forminu $m = \frac{m}1$, þá er margfeldi heillrar tölu og brots sér í lagi gefið með \[ m \cdot \frac{p}q = \frac{m}1 \cdot \frac{p}q = \frac{m p}q. \]
Dæmi:
- Margfeldi brotanna $\frac{19}{21}$ og $\frac{17}{10}$ er \[ \frac{19}{21} \cdot \frac{17}{10} = \frac{19 \cdot 17}{21 \cdot 10} = \frac{323}{210}. \]
- Margfeldi heilu tölunnar $5$ og brotsins $\frac49$ er \[ 5 \cdot \frac49 = \frac{5 \cdot 4}9 = \frac{20}9. \]
Deiling (brota)
Deiling er reikniaðgerð fyrir almenn brot sem úthlutar sérhverjum brotum $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ brotinu $\frac{m}n : \frac{p}q$. Þetta brot kallast kvóti $\frac{m}n$ og $\frac{p}q$ og hann fæst með því að margfalda $\frac{m}n$ við margföldunarumhverfu $\frac{p}q$, þ.e. \[ \frac{m}n : \frac{p}q = \frac{m}n \cdot \frac{q}p = \frac{m q}{n p}. \]
Þar sem sérhverja heila tölu $m$ má rita sem brot á forminu $m = \frac{m}1$, þá er kvóti heillrar tölu og brots er sér í lagi gefinn með \[ m : \frac{p}q = \frac{m}1 : \frac{p}q = \frac{m \cdot q}{1 \cdot p} = \frac{m q}p, \] og kvóti brots og heillrar tölur er gefinn með \[ \frac{p}q : m = \frac{p}q : \frac{m}1 = \frac{p \cdot 1}{q \cdot m} = \frac{p}{q m}. \]
Dæmi:
- Kvóti brotanna $\frac{19}{21}$ og $\frac{17}{10}$ er \[ \frac{19}{21} : \frac{17}{10} = \frac{19 \cdot 10}{21 \cdot 17} = \frac{190}{357}. \]
- Kvóti heilu tölunnar $5$ og brotsins $\frac49$ er \[ 5 : \frac49 = \frac{5 \cdot 9}4 = \frac{45}4, \] og kvóti $\frac49$ og $5$ er \[ \frac49 : 5 = \frac4{9 \cdot 5} = \frac4{45}. \]