Hugtakasafn

Út frá gefnum mengjum má mynda ný mengi á ýmsa vegu. Hér að neðan er samantekt á algengustu leiðunum til að gera það.

Sammengi

Sammengi tveggja mengja $A$ og $B$ er mengi þeirra staka sem eru a.m.k. í öðru þeirra. Þetta mengi er táknað með $A \cup B$ (lesið: $A$ sam $B$) og það má rita á forminu \[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ eða } x \in B\}. \] Á Venn-myndinni hér að neðan er $A \cup B$ litað rautt.

Til að einfalda rithátt er sammengi $n$ mengja $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ oft ritað á forminu $\bigcup_{i=1}^n A_i$.

Sammengi eru tengin og víxlin, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir að \[ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \quad \text{og} \quad A \cup B = B \cup A. \] Jafnframt eru sammengi dreifin yfir sniðmengi, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir að \[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \quad \text{og} \quad (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A). \] Loks gildir fyrir öll mengi $A$ að $A \cup \varnothing = A$ og $A \cup A = A$.

Sniðmengi

Sniðmengi tveggja mengja $A$ og $B$ er mengi þeirra staka sem eru í báðum þeirra. Þetta mengi er táknað með $A \cap B$ (lesið: $A$ snið $B$) og það má rita á forminu \[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ og } x \in B\}. \] Á Venn-myndinni hér að neðan er $A \cap B$ litað rautt. Til að einfalda rithátt er sniðmengi $n$ mengja $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ oft ritað á forminu $\bigcap_{i=1}^n A_i$.

Ef mengin $A$ og $B$ hafa ekkert sameiginlegt stak, þ.e. ef $A \cap B = \varnothing$, er sagt að þau séu sundurlæg.

Sniðmengi eru tengin og víxlin, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir að \[ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \quad \text{og} \quad A \cap B = B \cap A. \] Jafnframt eru sniðmengi dreifin yfir sammengi, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir að \[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \quad \text{og} \quad (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A). \] Loks gildir fyrir öll mengi $A$ að $A \cap \varnothing = \varnothing$ og $A \cap A = A$.

Mengjamunur

Mengjamunur tveggja mengja $A$ og $B$ er mengi þeirra staka sem eru í $A$ en ekki í $B$. Þetta mengi er táknað með $A \setminus B$ (lesið: $A$ án $B$) og það má rita á forminu \[ A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}. \] Óformlega má segja að mengjamunurinn $A \setminus B$ sé sá hluti mengisins $A$ sem er utan mengisins $B$ og á Venn-myndinni hér að neðan er hann litaður rauður.

Fyrir öll mengi $A$ og $B$ má rita mengjamuninn $A \setminus B$ sem sniðmengi $A$ og fyllimengis $B$, þ.e. \[ A \setminus B = A \cap B^c. \] Jafnframt gildir fyrir öll mengi $A$ að $A \setminus \varnothing = A$ og $A \setminus A = \varnothing$.

Fyllimengi

Oft er það svo að öll mengi, sem verið er að skoða í einhverju sambandi, eru hlutmengi af einu og sama menginu $G$. Þá getur verið gagnlegt að líta svo á að mengið $G$ innihaldi allt sem við höfum áhuga á að fjalla um og að það sem sé utan $G$ varði okkur engu. Þegar svo er gert er mengið $G$ stundum kallað grunnmengi.

Við þessar aðstæður þarf oft að fjalla um mengjamun af taginu $G \setminus A$, þar sem $A$ er hlutmengi í $G$. Ef enginn vafi leikur á hvert mengið $G$ sé, þá er þessi mengjamunur kallaður fyllimengi mengisins $A$ og hann er táknaður með $A^c$. Ýmis önnur tákn þekkjast fyrir fyllimengi $A$; til dæmis $\overline{A}$, $A’$ og $\mathbf{C}A$. Við höfum sem sagt: \[ A^c = G \setminus A. \] Óformlega má segja að fyllimengið $A^c$ sé sá hluti grunnmengisins sem liggur utan mengisins $A$. Á Venn-myndum er venja að tákna grunnmengið með rétthyrningi og á myndinni að neðan er fyllimengið $A^c$ litað rautt.

Um fyllimengi sam- og sniðmengja gilda reglur De Morgans, sem segja að fyrir sérhver tvö mengi $A$ og $B$ gildi: \[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \quad \text{og} \quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c. \] Jafnframt gilda eftirfarandi reglur fyrir mengin $A$ og $B$:

• $A \cap A^c = \varnothing$.
• $A \cup A^c = G$.
• $(A^c)^c = A$.
• $A \subset B$ ef og aðeins ef $B^c \subset A^c$.

Veldismengi

Látum $A$ vera mengi. Mengið sem samanstendur af öllum hlutmengjum í $A$ kallast veldismengi mengisins $A$ og er táknað með $\mathcal{P}(A)$.

Almennt gildir að ef fjöldi staka í menginu $A$ er $n$, þar sem $n$ er náttúruleg tala, er fjöldi staka í veldismengi þess $2^n$.

Faldmengi

Látum $A$ og $B$ vera mengi. Mengið sem samanstendur af öllum tvenndum af gerðinni $(a, b)$ þar sem $a \in A$ og $b \in B$ er táknað með $A \times B$ (lesið: $A$ kross $B$) og kallast faldmengi mengjanna $A$ og $B$. Það má rita á forminu \[ A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \; og \; b \in B\}. \] Almennar er faldmengi $n$ mengja $A_1, A_2, \ldots, A_n$, þar sem $n \geq 3$ er náttúruleg tala, táknað með $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ og skilgreint sem mengið sem samanstendur af öllum $n$-undum af gerðinni $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ þar sem $a_i \in A_i$ fyrir öll $1 \leq i \leq n$. Það má rita á forminu \[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\ldots,a_n) \mid a_i \in A_i \;\text{fyrir öll}\; 1 \leq i \leq n \}. \] Til að einfalda rithátt er faldmengið $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ oft ritað á forminu $\prod_{i=1}^n A_i$ og fyrir sérhvert mengi $A$ er faldmengið $\prod_{i=1}^n A$ jafnframt táknað með $A^n$.

Faldmengi eru dreifin yfir sam- og sniðmengi, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$ og $C$ gildir annars vegar að \[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \quad \text{og} \quad (B \cup C) \times A = (B \cup A) \times (C \cup A), \] og hins vegar að \[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \quad \text{og} \quad (B \cap C) \times A = (B \cap A) \times (C \cap A). \] Eins og myndin að neðan sýnir má jafnframt rita sniðmengi faldmengja sem faldmengi sniðmengja, þ.e. fyrir öll mengi $A$, $B$, $C$ og $D$ gildir: \[ (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D). \]

Hins vegar eru faldmengi ekki víxlin, þ.e. $A \times B$ og $B \times A$ eru almennt ekki sama mengið, eins og fyrra dæmið að neðan sýnir.