Skip to Content

Skilgreining:

Látum $\frac{a}b$ og $\frac{c}d$ vera tvö brot.

  • Ef $\frac{a}b$ lýsir meiri stærð miðað við tiltekna heild en $\frac{c}d$, þá segjum við að brotið $\frac{a}b$ sé stærra en brotið $\frac{c}d$. Þetta táknum við svona: \[ \textstyle{\frac{a}b > \frac{c}d}. \]
  • Ef brotin lýsa sömu stærð miðað við tiltekna heild, þá eru þau jöfn. Það táknum við svona: \[ \textstyle{\frac{a}b = \frac{c}d}. \]
  • Ef $\frac{a}b$ lýsir minni stærð miðað við tiltekna heild en $\frac{c}d$, þá segjum við að brotið $\frac{a}b$ sé minna en brotið $\frac{c}d$. Þetta táknum við svona: \[ \textstyle{\frac{a}b < \frac{c}d}. \]

Stofnbrot

Afar einfalt er að bera saman tvö stofnbrot $\frac1b$ og $\frac1d$. Til að sjá það skulum við láta heildina vera rétthyrninginn á myndinni að neðan.

Samkvæmt skilgreiningu á stofnbroti vitum við að $\frac1b$ lýsir stærð hvers hluta miðað við heildina þegar henni hefur verið skipt í $b$ jafna hluta, og brotið $\frac1d$ lýsir stærð hvers hluta miðað við heildina þegar henni hefur verið skipt í $d$ jafna hluta. Þess vegna getur þrennt gerst:

  • Gerum ráð fyrir að $b$ sé stærri tala en $d$. Skiptum heildinni annars vegar í $b$ jafna hluta, eins og gert er á efri myndinni, og hins vegar í $d$ jafna hluta, eins og gert er á neðri myndinni.

    mynd:Rodun_brot_1b.svg
    mynd:Rodun_brot_1d.svg

    Þar sem $b$ er stærri tala en $d$ er heildinni skipt í fleiri hluta á efri myndinni en á neðri myndinni. Þetta hefur í för með sér að sérhver hluti á efri myndinni er minni en sérhver hluti á neðri myndinni, svo $\frac1b$ lýsir minni stærð miðað við heildina en $\frac1d$. Þess vegna er brotið $\frac1b$ minna en brotið $\frac1d$, þ.e. $\frac1b < \frac1d$.
  • Ef $b$ og $d$ eru sama talan, þá eru brotin $\frac1b$ og $\frac1d$ jöfn.
  • Gerum ráð fyrir að $b$ sé minni tala en $d$. Skiptum heildinni annars vegar í $b$ jafna hluta, eins og gert er á efri myndinni, og hins vegar í $d$ jafna hluta, eins og gert er á neðri myndinni.

    mynd:Einingarbrot_1b.svg
    mynd:Einingarbrot_1d.svg

    Þar sem $b$ er minni tala en $d$ er heildinni skipt í færri hluta á efri myndinni en á neðri myndinni. Þetta hefur í för með sér að sérhver hluti á efri myndinni er stærri en sérhver hluti á neðri myndinni, svo $\frac1b$ lýsir meiri stærð miðað við heildina en $\frac1d$. Þess vegna er brotið $\frac1b$ stærra en brotið $\frac1d$, þ.e. $\frac1b > \frac1d$.

Umfjöllunina að framan getum við tekið saman í eftirfarandi setningu:

Setning:

Stærðarröð tveggja stofnbrota er alltaf öfug við stærðarröð nefnara þeirra. Með öðrum orðum gildir:

  • Ef $b$ er stærri tala en $d$, þá er brotið $\frac1b$ minna en brotið $\frac1d$.
  • Ef $b$ og $d$ eru sama talan, þá eru brotin $\frac1b$ og $\frac1d$ jöfn.
  • Ef $b$ er minni tala en $d$, þá er brotið $\frac1b$ stærra en brotið $\frac1d$.

Dæmi:   Berum saman brotin $\frac15$ og $\frac19$. Þar sem $5$ er minni tala en $9$, þá vitum við að brotið $\frac15$ er stærra en brotið $\frac19$, þ.e. $\frac15 > \frac19$. Þetta má einnig sjá af myndunum að neðan:

mynd:Rodun_stofnbrot_n5_1.svg
mynd:Rodun_stofnbrot_n9_0.svg

Dæmi:   Berum saman brotin $\frac18$ og $\frac16$. Þar sem $8$ er stærri tala en $6$, þá vitum við að brotið $\frac18$ er minna en brotið $\frac16$, þ.e. $\frac18 < \frac16$. Þetta má einnig sjá af eftirfarandi myndum:

mynd:Rodun_stofnbrot_n8_0.svg
mynd:Rodun_stofnbrot_n6_0.svg

Samnefnd brot

Einnig er einfalt að bera saman tvö samnefnd brot $\frac{a}b$ og $\frac{c}b$, sem er vegna þess að þau svara til sömu skiptingar á heildinni. Til að sjá það skulum við láta heildina vera rétthyrninginn á myndinni að neðan.

Skiptum heildinni í $b$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir.

Brotið $\frac{a}b$ lýsir stærð $a$ slíkra hluta miðað við heildina, og brotið $\frac{c}b$ lýsir stærð $c$ slíkra hluta miðað við heildina. Þess vegna getur þrennt gerst:

  • Ef $a$ er stærri tala en $c$, þá svarar brotið $\frac{a}b$ til fleiri slíkra hluta en brotið $\frac{c}b$, svo $\frac{a}b$ lýsir meiri stærð miðað við heildina en $\frac{c}b$. Þess vegna er brotið $\frac{a}b$ stærra en brotið $\frac{c}b$, þ.e. $\frac{a}b > \frac{c}b$.
  • Ef $a$ og $c$ eru sama talan, þá eru brotin $\frac{a}b$ og $\frac{c}b$ jöfn.
  • Ef $a$ er minni tala en $c$, þá svarar brotið $\frac{a}b$ til færri slíkra hluta en brotið $\frac{c}b$, svo $\frac{a}b$ lýsir minni stærð miðað við heildina en $\frac{c}b$. Þess vegna er brotið $\frac{a}b$ minna en brotið $\frac{c}b$, þ.e. $\frac{a}b < \frac{c}b$.

Umfjöllunina að framan getum við tekið saman í eftirfarandi setningu:

Setning:

Stærðarröð tveggja samnefndra brota er alltaf sú sama og stærðarröð teljara þeirra. Með öðrum orðum gildir:

  • Ef $a$ er stærri tala en $c$, þá er brotið $\frac{a}b$ stærra en brotið $\frac{c}b$.
  • Ef $a$ og $c$ eru jafnar tölur, þá eru brotin $\frac{a}b$ og $\frac{c}b$ jöfn.
  • Ef $a$ er minni tala en $c$, þá er brotið $\frac{a}b$ minna en brotið $\frac{c}b$.

Dæmi:   Berum saman brotin $\frac65$ og $\frac95$. Þar sem $6$ er minni tala en $9$ vitum við að brotið $\frac65$ er minna en brotið $\frac95$, þ.e. $\frac65 < \frac95$. Þetta má einnig sjá af myndunum að neðan. Á efri myndinni hefur dökka svæðið stærðina $\frac65$ miðað við heildina, og á neðri myndinni hefur dökka svæðið stærðina $\frac95$ miðað við heildina.

Dæmi:   Berum saman brotin $\frac{22}8$ og $\frac{15}8$. Þar sem $22$ er stærri tala en $15$ vitum við að brotið $\frac{22}8$ er stærra en brotið $\frac{15}8$, þ.e. $\frac{22}8 > \frac{15}8$. Þetta má einnig sjá af myndunum að neðan. Á efri myndinni hefur dökka svæðið stærðina $\frac{22}8$ miðað við heildina, og á neðri myndinni hefur dökka svæðið stærðina $\frac{15}8$ miðað við heildina.