Skip to Content

Yrðing er staðhæfing sem er annaðhvort sönn eða ósönn. Yrðingar eru yfirleitt táknaðar með litlum bókstöfum eins og $p$, $q$, $r$ o.s.frv. Sanngildi yrðingar er skilgreint sem $1$ ef yrðingin er sönn og $0$ ef yrðingin er ósönn.

Dæmi:  

  • Staðhæfingin „Evrópa er heimsálfa“ er yrðing sem er sönn og hefur því sanngildið $1$.
  • Staðhæfingin „Jörðin er flöt“ yrðing sem er ósönn og hefur því sanngildið $0$.
  • Staðhæfingar eins og „Stærðfræði er skemmtileg“ og „Kjúklingur er bragðlaus“ eru ekki yrðingar, því ekki er hægt með óyggjandi hætti að skera úr um hvort þær séu sannar eða ósannar.

Opin yrðing er staðhæfing sem inniheldur eina eða fleiri óþekktar stærðir. Opnar yrðingar eru yfirleitt táknaðar með litlum bókstöfum og eru nöfn óþekktu stærðanna höfð með í sviga. Til dæmis táknar $p(x)$ opna yrðingu þar sem $x$ er óþekkt stærð, $q(y)$ táknar opna yrðingu þar sem $y$ er óþekkt stærð o.s.frv. Þegar þekktar stærðir eru settar í stað óþekktu stærðanna verður opin yrðing yfirleitt að yrðingu sem er annaðhvort sönn eða ósönn.

Opnar yrðingar sem innihalda jafnaðarmerkið „$=$“ kallast jöfnur og opnar yrðingar sem innihalda eitthvert merkjanna „$\lt$“, „$\leq$“, „$\gt$“ eða „$\geq$“, kallast ójöfnur.

Dæmi:  

  • Staðhæfingin $p(x)$: „$x$ er slétt tala“ er opin yrðing með óþekktu stærðina $x$. Þegar talan $1$ er sett í stað óþekktu stærðarinnar fæst staðhæfingin $p(1)$: „$1$ er slétt tala“, sem er ósönn yrðing. Þegar talan $2$ er sett í stað óþekktu stærðarinnar fæst hins vegar staðhæfingin $p(2)$: „$2$ er slétt tala“, sem er sönn yrðing.
  • Staðhæfingin $q(x)$: „$x^2 = 1$“ er jafna með óþekktu stærðina $x$. Þegar talan $-1$ er sett í stað óþekktu stærðarinnar fæst staðhæfingin $p(-1)$: „$(-1)^2 = 1$“, sem er sönn yrðing. Þegar talan $-2$ er sett í stað óþekktu stærðarinnar fæst hins vegar staðhæfingin $p(-2)$: „$(-2)^2 = 1$“, sem er ósönn yrðing.

Látum $p(x)$ vera opna yrðingu og $A$ vera mengi. Þau stök úr $A$ sem gera $p(x)$ að sannri yrðingu þegar þau eru sett í stað óþekktu stærðarinnar kallast lausnir opnu yrðingarinnar $p(x)$ í menginu $A$. Ennfremur kallast mengi allra lausna $p(x)$ í $A$ lausnamengi $p(x)$ í $A$ og það er táknað með \[ P = \{x \in A \mid p(x)\}. \]

Dæmi:  

  • Skoðum opnu yrðinguna $p(x)$: „$x$ er slétt tala“ og finnum lausnamengi hennar í menginu $\mathbb{Z}$. Auðvelt er að sjá að þær heilu tölur sem gera $p(x)$ að sannri yrðingu þegar þær eru settar í stað $x$ eru einfaldlega allar sléttar tölur. Lausnir $p(x)$ í $\mathbb{Z}$ eru því allar sléttar tölur og lausnamengi $p(x)$ í $\mathbb{Z}$ er gefið með \[ \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ er slétt tala}\} = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}. \]
  • Skoðum jöfnuna $q(x)$: „$x^2 = 1$“ og finnum lausnamengi hennar í menginu $\mathbb{R}$. Auðvelt er að sjá að þær rauntölur sem gera $q(x)$ að sannri yrðingu þegar þær eru settar í stað $x$ eru $-1$ og $1$. Lausnir jöfnunnar $x^2 = 1$ í $\mathbb{R}$ eru því $-1$ og $1$ og lausnamengi hennar í $\mathbb{R}$ er gefið með \[ \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 1\} = \{-1, 1\}. \]