Út frá gefnum yrðingum og opnum yrðingum má mynda nýjar yrðingar og opnar yrðingar á ýmsa vegu. Hér að neðan er samantekt á algengustu leiðunum til að gera það.
Ekki
Fyrir sérhverja yrðingu $p$ er $\neg p$ (lesið: „ekki $p$“) sú yrðing sem fæst með því að neita yrðingunni $p$. Yrðingin $\neg p$ hefur þess vegna alltaf öfugt sanngildi við yrðinguna $p$. Þessari staðreynd má lýsa með eftirfarandi töflu, sem sýnir sanngildi $\neg p$ eftir ólíkum sanngildum $p$:
| $p$ | $\neg p$ |
| $1$ | $0$ |
| $0$ | $1$ |
Dæmi:
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Reykjavík er höfuðborg Íslands“. Þá táknar $\neg p$ yrðinguna „Reykjavík er ekki höfuðborg Íslands“, sem er ósönn.
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Sólin er reikistjarna“. Þá táknar $\neg p$ yrðinguna „Sólin er ekki reikistjarna“, sem er sönn.
Fyrir sérhverja opna yrðingu $p(x)$ er $\neg p(x)$ (lesið: „ekki $p(x)$“) sú opna yrðing sem fæst með því að neita $p(x)$.
Ef $A$ er mengi og $p(x)$ hefur lausnamengið $P$ í $A$, þá er lausnamengi $\neg p(x)$ í $A$ gefið með mengjamun $A$ og $P$, þ.e. \[ \{ x \in A \mid \neg p(x) \} = A \setminus P. \]
Dæmi:
- Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „$x$ er slétt tala“. Þá táknar $\neg p(x)$ opnu yrðinguna „$x$ er ekki slétt tala“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$, svo lausnamengi $\neg p(x)$ í $\mathbb{N}$ er \[ \mathbb{N} \setminus P = \{1,3,5,7,\ldots\}. \]
Og
Fyrir sérhverjar yrðingar $p$ og $q$ er $p \wedge q$ (lesið: „$p$ og $q$“) sú yrðing sem segir að $p$ og $q$ séu báðar sannar. Yrðingin $p \wedge q$ er þess vegna sönn þegar yrðingarnar $p$ og $q$ eru báðar sannar, en annars er hún ósönn. Þessu má lýsa með eftirfarandi töflu, sem sýnir sanngildi yrðingarinnar $p \wedge q$ eftir ólíkum sanngildum $p$ annars vegar og $q$ hins vegar:
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Dæmi:
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Tveir plús tveir eru fjórir“ og $q$ tákna yrðinguna „Reykjavík er höfuðborg Íslands“. Þá er $p \wedge q$ yrðingin „Tveir plús tveir eru fjórir og Reykjavík er höfuðborg Íslands“, sem er sönn því $p$ og $q$ eru báðar sannar.
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Jörðin er stærri en tunglið “ og $q$ tákna yrðinguna „Sólin er reikistjarna“. Þá er $p \wedge q$ yrðingin „Jörðin er stærri en tunglið og sólin er reikistjarna“, sem er ósönn því $q$ er ósönn.
Fyrir sérhverjar opnar yrðingar $p(x)$ og $q(x)$ er $p(x) \wedge q(x)$ (lesið: „$p(x)$ og $q(x)$“) sú opna yrðing sem segir að $p(x)$ og $q(x)$ séu báðar sannar.
Ef $A$ er mengi og opnu yrðingarnar $p(x)$ og $q(x)$ hafa lausnamengi $P$ og $Q$ í $A$, þá er lausnamengi $p(x) \wedge q(x)$ í $A$ gefið með sniðmengi þeirra, þ.e. \[ \{ x \in A \mid p(x) \wedge q(x) \} = P \cap Q. \]
Dæmi:
- Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „$x$ er slétt tala“ og $q(x)$ tákna opnu yrðinguna „$3$ gengur upp í $x$“. Þá táknar $p(x) \wedge q(x)$ opnu yrðinguna „$x$ er slétt tala og $3$ gengur upp í hana“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$, lausnamengi $q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $Q = \{0,3,6,9,\ldots\}$, svo lausnamengi $p(x) \wedge q(x)$ í $\mathbb{N}$ er \[ P \cap Q = \{0,6,12,18,24,\ldots\}. \]
Eða
Fyrir sérhverjar yrðingar $p$ og $q$ er $p \vee q$ (lesið: „$p$ eða $q$“) sú yrðing sem segir að a.m.k. önnur yrðinganna $p$ og $q$ sé sönn. Yrðingin $p \vee q$ er þess vegna ósönn þegar yrðingarnar $p$ og $q$ eru báðar ósannar, en annars er hún sönn. Þessari staðreynd má lýsa með töflunni að neðan, sem sýnir sanngildi $p \vee q$ eftir ólíkum sanngildum $p$ annars vegar og $q$ hins vegar.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Dæmi:
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Banani er ávöxtur“ og $q$ tákna yrðinguna „Esjan er jökull“. Þá er $p \vee q$ yrðingin „Banani er ávöxtur eða Esjan er jökull“, sem er sönn því $p$ er sönn.
- Látum $p$ tákna yrðinguna „Jörðin er flöt“ og $q$ tákna yrðinguna „Surtsey er heimsálfa“. Þá er $p \vee q$ yrðingin „Jörðin er flöt eða Surtsey er heimsálfa“, sem er ósönn því $p$ og $q$ eru báðar ósannar.
Fyrir gefnar opnar yrðingar $p(x)$ og $q(x)$ er $p(x) \vee q(x)$ (lesið: „$p(x)$ eða $q(x)$“) sú opna yrðing sem segir að a.m.k. önnur af $p(x)$ og $q(x)$ sé sönn.
Ef $A$ er mengi og $p(x)$ og $q(x)$ hafa lausnamengi $P$ og $Q$ í $A$, þá er lausnamengi $p(x) \vee q(x)$ í $A$ gefið með sammengi þeirra, þ.e. \[ \{ x \in A \mid p(x) \vee q(x) \} = P \cup Q. \]
Dæmi:
- Látum $p(x)$ tákna opnu yrðinguna „$x$ er slétt tala“ og $q(x)$ tákna opnu yrðinguna „$x$ er oddatala“. Þá táknar $p(x) \vee q(x)$ opnu yrðinguna „$x$ er slétt tala eða $x$ er oddatala“. Lausnamengi $p(x)$ í menginu $\mathbb{N}$ er $P = \{0,2,4,6,\ldots\}$, lausnamengi $q(x)$ í $\mathbb{N}$ er $Q = \{1,3,5,7,\ldots\}$, svo lausnamengi $p(x) \vee q(x)$ í $\mathbb{N}$ er \[ P \cup Q = \mathbb{N}. \]