Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er
Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.
Látum $p$ vera frumtölu stærri en 11. Summa allra jákvæðra þátta tölunnar $11p$ er
Þar sem 11 er frumtala, þá eru þær tölur sem ganga upp í $11p$ tölurnar 1, 11, $p$ og $11p$. Summa þeirra er $1+11+p+11p=12+12p$.
Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn
Höfum að $$\frac{5^8+5^9}{5^8}=\frac{5^8(1+5)}{5^8}=6.$$
$ABCD$ er tígull. Látum $K$ vera miðpunkt striksi ns $DC$ og $L$ miðpunkt striksins $BC$. Látum $M$ vera skurðpunkt strikanna $DL$ og $BK$. Ef flatarmál tígulsins $ABCD$ er 1, þá er flatarmál ferhyrningsins $KMLC$ jafnt
Athugum að punkturinn $M$ skiptir strikunum $DL$ og $BK$ í hlutföllunum $1:2$ þar sem $M$ er skurðpunktur miðlínanna í þríhyrningnum $BCD$. Látum $P$ og $Q$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $AB$ við strikin $AD$ og $BC$. Látum $R$ og $S$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $BC$ við strikin $AB$ og $DC$. Þá skiptir $M$ strikunum $PQ$ og $RS$ einnig í hlutföllunum $1:2$ því þríhyrningarnir $PMD$ og $QML$ annarsvegar og $RMB$ og $SMK$ hinsvegar eru einslaga. Flatarmál tígulsins $SMQC$ er þá $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ af flatarmáli $ABCD$ og flatarmál hvors þríhyrninganna $KMS$ og $LMQ$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ af flatarmáli $ABCD$ því $|KS|=|KC|-|SC|$ er $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ hluti lengdar $DC$. Samtals er flatarmál $KMLC$ þá $\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ af flatarmáli $ABCD$.
Talan $\displaystyle\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$ er jöfn
Höfum að $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}=\sqrt{16\sqrt{16}}=\sqrt{64}=8.$
Fjörutíu spjöld eru merkt með tölunum frá 1 upp í 40. Tíu spjöld eru valin af handahófi og tölurnar á þeim lagðar saman. Fjöldi mögulegra útkoma er
Minnsta mögulega summan er $\frac{1}{2}\cdot (1+10)\cdot 10=55$ og sú stærsta $\frac{1}{2}\cdot(31+40)\cdot 10=355$.
(Hér notfærum við okkur að ef við eigum að leggja saman $n$ tölur $a_1, a_2, \ldots, a_n$ þannig að $a_{k+1}-a_k$ er föst tala fyrir öll $k=0,\ldots,n-1$, þá er summan margfeldi fjölda talnanna við meðaltal fyrsta og síðasta liðarins.)
Ljóst er að við getum valið spil til að fá hvaða útkomu þarna á milli svo fjöldi mögulegra útkoma er $355-55+1=301$.
Talan $\displaystyle\frac{\frac{3}{7} -1}{1-\frac{7}{3}}$ er jöfn
Höfum að $$\frac{\frac{3}{7} - 1}{1-\frac{7}{3}} =\frac{ -\frac{4}{7} }{ -\frac{4}{3} }=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{7}.$$
Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn
Ef við tökum saman $k$-tu liðina í hverjum sviga, þá eru þeir $$(2k-1)^2-(2k)^2+4k=-4k+1+4k=1.$$ Þeir eru 50 talsins, svo summan er 50.
Ummál rétthyrningsins, sem er sýndur hér, er
Gagnstæðar hliðar eru jafn langar í rétthyrningum svo að $3x=15$. Þá er $x=5$ og ummálið því $2(15+(6\cdot 5 + 4))= 2\cdot 49=98$.
Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $135$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?
Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.
Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.