Það að $a+b=333$ segir okkur að við erum að reyna að telja fullstytt brot á forminu $\frac{a}{333-a}$ þar sem $333-a\gt a$. Seinna skilyrðið hér að ofan segir okkur að $1\leq a\leq 166$. Slíkt brot er fullstytt ef engin frumtala $p$ gengur bæði upp í $a$ og $333-a$. Ef talan $p$ gengur bæði upp í $a$ og $333-a$, þá verður $p$ að ganga upp í $333$. Frumþáttum nú töluna 333 og fáum $333=3^2\cdot 37$. Þau gildi sem eru ekki leyfileg fyrir $a$ eru þær náttúrlegar tölur á bilinu frá 1 upp í 166 sem eru þannig að $3$ eða $37$ ganga upp í þær. Við drögum því fjölda óleyfilegra talna frá fjölda mögulegra gilda á $a$ og fáum að svarið er $$166-\left(\left[\tfrac{166}{3}\right]+\left[\tfrac{166}{37}\right]- \left[\tfrac{166}{111}\right]\right)=166-(55+4-1)=108.$$ Athugið að liðurinn $\left[\frac{166}{111}\right]$ verður að vera með til að leiðrétta vegna þeirra talna sem bæði $3$ og $37$ ganga upp í.

Svar: $12\sqrt{3}$

Við sýnum tvær lausnir. Í þeirri fyrri notum við hreina rúmfræði en í þeirri seinni innleiðum við hnitakerfi.

Lausn 1: Þar sem hornið $\angle CAB$ er rétt, þá er $E$ miðja umritaðs hrings þríhyrningsins $CAB$. Þá er $|AE|=|BE|$. Setjum $|DF|=x$ og $|EF|=y$. Þá er $|AF|=2y$ og $|BF|=2x$ því miðstrik í þríhyrningi skipta hvert öðru í hlutföllunum $1:2$. Einnig er $|BE|=|AE|=3y$ og þar sem þríhyrningurinn $BEF$ er rétthyrndur gefur regla Pýþagorasar að $9y^2=y^2+4x^2$, það er $x^2=2y^2$. En þríhyrningurinn $ABF$ er einnig rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $12^2=4x^2+4y^2$ svo $x^2+y^2=36$. Þá er $y^2=36-x^2=36-2y^2$ svo $y^2=12$ og því $y=2\sqrt{3}$. Þá er $|BC|=6y=12\sqrt{3}$.

Lausn 2: Látum punktinn $A$ fá hnit $(0,0)$, látum línuna $AB$ liggja á $y$-ásnum þannig að $B$ fái hnitin $(0,12)$. Þá liggur $AC$ á $x$-ásnum og $C$ hefur hnitin $(2 a,0)$ þar sem $a$ er rauntala og við getum gert ráð fyrir að $a\lt 0$ með því að spegla myndinni hugsanlega um $y$-ásinn. Nú er $D$ miðpunktur $AC$ og hefur því hnitin $(a,0)$ og eins hefur $E$ hnitin $(a,6)$. Hallatala línunnar $AE$ er þá $\frac{6}{a}$ og hallatala línunnar $BD$ er $-\frac{12}{a}$. Þar sem línurnar eru hornréttar, þá er margfeldi hallatalnanna jafnt $-1$ svo $$\frac{6}{a}\cdot\left(-\frac{12}{a}\right) = -1$$ og því er $a^2=72$. Þá hefur hliðin $AC$ lengd $2\sqrt{72}$, svo að $$ |BC|=\sqrt{|AC|^2+|AB|^2}=\sqrt{144+288}=\sqrt{3\cdot144}=12\sqrt{3}. $$

Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.

Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.