Skip to Content

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Píluskífa hefur þrjá hringi (sjá mynd). Fjöldi stiga sem fást fyrir að lenda í hverju svæðanna þriggja er eins og sýnt er á myndinni. Minnsti fjöldi pílukasta sem þarf til þess að hljóta nákvæmlega 21 stig er

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Skilgreinum fall $f(x)=kx(1-x)$ þar sem $k\gt 0$ er fasti. Ákvarðið
skilyrði á töluna $k$ sem eru nægileg og nauðsynleg til þess, að til sé rauntala $c$ þannig að $f(f(c))=c$ en $f(c)\neq c$.

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $P(x)$ vera margliðu af stigi $n-1$ þannig að $P(k)=\frac 1k$ fyrir $k=1$, 2, $\dots$, $n$. Finnið $P(n+1)$.

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Látum $p$ vera frumtölu stærri en 11. Summa allra jákvæðra þátta tölunnar $11p$ er

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1991-92

Sýnið að fyrir sérhverjar rauntölur $a, b, c, d \gt 0$ gildir $$ a b c d (a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}+d^{-3})\ge a+b+c+d $$

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

$ABCD$ er tígull. Látum $K$ vera miðpunkt striksi ns $DC$ og $L$ miðpunkt striksins $BC$. Látum $M$ vera skurðpunkt strikanna $DL$ og $BK$. Ef flatarmál tígulsins $ABCD$ er 1, þá er flatarmál ferhyrningsins $KMLC$ jafnt

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1991-92

Látum $ABCDEF$ og $FGHIJK$ vera misstóra reglulega sexhyrninga með nákvæmlega einn sameiginlegan punkt $F$ þannig að punktarnir $C$, $F$ og $I$ liggja á beinni línu (sjá mynd). Látum hringinn gegnum punktana $A$, $F$ og $K$ skera línuna $CI$ í punkti $L$ þannig að $L \ne F$. Sýnið að:

(a) $ALK$ er jafnhliða þríhyrningur.

(b) $L$ er miðpunktur striksins $CI$.

Syndicate content