1995-96 | stæ.is

Dæmi 2. Neðra stig 1995-96

Rétthyrningi með kantlengdirnar $5$ og $10$ er skipt í fjóra þríhyrninga eins og myndin sýnir. Flatarmál tveggja þríhyrninga er sýnt á myndinni. Flatarmál svæðisins sem merkt er með $A$ er

Lausn

Lítum fyrst á þríhyrninginn sem hefur flatarmál $18$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þeim þríhyrningi er $\frac{2\cdot 18}{5}=\frac{36}{5}$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þríhyrningnum sem er merktur $A$ er þá $10-\frac{36}{5}=\frac{50-36}{5}=\frac{14}{5}$ svo að flatarmál svæðisins $A$ er $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{14}{5}=7$.

Dæmi 3. Neðra stig 1995-96

Ef $a=b=c$ og $a+b+c=1$, þá er gildið á $$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) \left(1+\frac{1}{c}\right)$$

Lausn

Þar sem $a=b=c$ og $a+b+c=1$, þá er $a=b=c=\frac{1}{3}$ svo að $$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=(1+3)^3=64.$$

Dæmi 4. Neðra stig 1995-96

Gerum ráð fyrir að allir ráðherrar séu þingmenn og að sumir lögfræðingar séu ráðherrar. Hverjar eftirtalinna fullyrðinga hljóta þá að vera réttar:

X: Allir þingmenn eru lögfræðingar.

Y: Sumir lögfræðingar eru þingmenn.

Z: Til eru lögfræðingar sem eru ekki ráðherrar.

Lausn

Gefið er að sumir lögfræðingar eru ráðherrar og því er til lögfræðingur sem er ráðherra. En gefið er að allir ráðherrar séu þingmenn og því er til lögfræðingur sem er þingmaður. Því eru sumir lögfræðingar þingmenn. Fullyrðing Y er því rétt. Hinar fullyrðingarnar þurfa ekki að vera réttar. Þó sumir lögfræðingar séu ráðherrar, þá geta verið ráðherrar sem eru ekki lögfræðingar og því einnig þingmenn sem eru ekki lögfræðingar. Fullyrðing X þarf því ekki að gilda. Þó sumir lögfræðingar eru ráðherrar, þá þurfa ekki allir lögfræðingar að vera ráðherrar svo vel geta verið til lögfræðingar sem eru ekki ráðherrar. Fullyrðing Z þarf því ekki að gilda.

Dæmi 5. Neðra stig 1995-96

Ef þú stendur fyrir framan bílinn hennar Jarþrúðar, þá geturðu lesið stafina framan á honum. Þegar Jarþrúður keyrir á nýja bílnum sínum á eftir þér, þá sérðu í baksýnisspeglinum framan á bíl Jarþrúðar letrað

Lausn

Það sem við sjáum í baksýnisspeglinum er það sem við fáum þegar við speglum um lóðrétta línu. Stafirnir verða þá í röðinni Z, N, E, B og hver þeirra speglaður um lóðrétta línu. Svarið er því .

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96

Sexhyrnd stjarna er mynduð með því að framlengja hliðarnar í reglulegum sexhyrningi. Ef ummál sexhyrningsins er $21$, þá er ummál stjörnunnar

Lausn

Þegar við framlengjum hliðarnar fáum við jafnhliða þríhyrninga á hverja hlið sexhyrningsins. Í stað hverrar hliðar sexhyrningsins koma þá hinar tvær hliðarnar á þríhyrningunum. Sjáum þá að ummálið tvöfaldast og verður því $2\cdot 21=42$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 2. Neðra stig 1995-96

Dæmi 3. Neðra stig 1995-96

Dæmi 4. Neðra stig 1995-96

Dæmi 5. Neðra stig 1995-96

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96