N4 | stæ.is

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Lausn

Hver reitur ákvarðast af dálknúmeri sínu, $i$, á bilinu frá $1$ upp í $n$, og línunúmeri sínu, $j$, sem við veljum þannig að fyrsta röðin fær númerið $0$, svo að $j$ liggur á bilinu frá $0$ upp í $n-1$. Talan í reit með dálknúmeri $i$ og línunúmeri $j$ er þá $i+jn$. Hvert dálknúmer kemur nákvæmlega einu sinni fyrir og hvert línunúmer kemur líka nákvæmlega einu sinni fyrir í völdu tölunum svo að summan verður $$ \begin{aligned} &\underbrace{1+2+\cdots+n}_{\text{dálknúmer}} +\underbrace{0+n+2n+\cdots+(n-1)n}_{\text{línunúmer}} \\ =&(1+2+\cdots+n)+(0+1+\cdots+(n-1))n\\ =&\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}(n-1)n^2 \\ =&\frac{1}{2}n(n^2+1). \end{aligned} $$ Þegar $n=5$, þá er svarið $65$.

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.

Lausn

Táknum miðjur hringanna með $O, O_1$ og $O_2$, en geislar þeirra með $r, r_1$ og $r_2$ eins og sýnt er á myndinni. Látum $M$ tákna miðpunkt striksins $P Q$ og $x$ lengd striksins $O M$. Þá er $r=r_1+r_2$ og ennfremur er $$ \begin{aligned} r^2&=x^2+|MP|^2=x^2+16,\ 2r_1=r+x, \\ 2r_2&=r-x. \end{aligned} $$ Flatarmálið á skyggða svæðinu fæst með því að draga flatarmál litlu hringanna tveggja frá flatarmáli stóra hringsins, og er $$ \begin{aligned} \pi(r^2-r_1^2-r_2^2) & = \pi((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2) = 2\pi r_1r_2 \\ &=2\pi\cdot\frac{r+x}{2}\cdot\frac{r-x}{2} = 2\pi\frac{1}{4}(r^2-x^2)= \frac{1}{2}\pi\cdot 16 = 8\pi. \end{aligned} $$

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Lausn

Miðpunktar hringanna mynda jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd 2. Geisli stóra hringsins er þá 1 að viðbættri lengdinni frá einum hornpunkti þríhyrningsins að miðpunkti hans. Látum $O$ vera miðpunkt þríhyrningsins og $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta hans. Látum $D$ vera miðpunkt hliðarinnar $BC$. Nú er $D$ jafnframt fótpunktur hæðarinnar á $BC$ svo regla Pýþagroasar gefur að $|AD|=\sqrt{|AB|^2-|BD|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Þar sem miðlínur þríhyrnings skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$, þá er $|OA|=\frac23\sqrt{3}$ svo að geisli stóra hringsins er $1+\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$. Flatarmál stóra hringsins er þá $$ \pi \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{9} \right)\pi =\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3} \right)\pi.$$

Dæmi 22. Neðra stig 1995-96

Hver eru möguleg gildi á tölu $n\gt 9$ þannig að $n$ börn geti skipt $9$ eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru stykki í fleiri en tvo hluta.

Lausn

Við höfum $9$ stykki og ætlum að skipta þeim í $n\gt 9$ hluta. Þá verðum við augljóslega að skera öll stykkin í sundur, því sá sem fengi heilt stykki fengi þá meira en $9/n$ af öllum súkkulaðistykkjunum. En við megum ekki skera neitt stykki oftar en einu sinni svo hverju þeirra er skipt í nákvæmlega tvo hluta.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum skipt stykkjunum og höfum því $18$ hluta af stykkjum fyrir framan okkur sem við hugsum okkur að við höfum merkt $1_a, 1_b, 2_a, 2_b,\ldots,9_a, 9_b$ þannig að $1_a$ og $1_b$ fengust þegar stykki 1 var skipt í tvennt o.s.frv. Nú er einn hlutinn $9/n$ af lengd eins stykkis og við getum gert ráð fyrir því að það sé $1_a$. Ef lengd $1_b$ er einnig $9/n$, þá höfum við skipt hverju stykki í tvennt og því $n=18$. Annars er til hluti af stykki, segjum $2_a$, þannig að samanlögð lengd $1_b$ og $2_a$ sé $9/n$. Við höldum nú svona áfram þar til við komum að fyrstu tölunni $k$ þannig að lengd $k_b$ sé $9/n$, en þá hefur þessum $k$ stykkjum verið skipt milli $k+1$ barns. Þar sem skiptingin á næstu $k$ stykkjum hlýtur að vera samsvarandi sjáum við að $k$ gengur upp í $9$ og er því annaðhvort 3 eða 9 (við höfum þegar afgreitt tilfellið $k=1$). Þá hefur þessum fyrstu 3 (eða 9) stykkjum verið skipt milli 4 (eða 10) barna og því $n=3\cdot 4=12$ eða $n=10$.

Við höfum nú séð að nauðsynlega verður $n$ að vera ein af tölunum $10$, $12$ eða $18$. En ljóst er að hægt er að skipta stykkjunum $9$ milli $10$, $12$ eða $18$ barna án þess að skera nokkurt þeirra tvisvar. Ef $n=18$, þá skiptum við hverju stykki í tvennt. Ef $n=12$ þá skiptum við hverjum $3$ stykkjum í fjóra hluta með því að raða þeim í röð og skera lengjuna í fjóra jafn langa búta. Þá þarf að skera þrisvar svo hvert stykki er skorið nákvæmlega einu sinni. Eins ef $n=10$, þá röðum við öllum stykkjunum $9$ í röð og skiptum lengjunni í $10$ jafn langa búta, en þá þarf að skera $9$ sinnum og hvert stykki því nákvæmlega einu sinni.

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Hliðarnar í rétthyrndum þríhyrningi $A B C$ hafa lengdir $6, 8, 10$. Hringur með geisla 1 og miðju í $P$ rúllar innan í $A B C$ þannig að hann snertir alltaf eina hlið þríhyrningsins. Hversu langt hefur punkturinn $P$ farið þegar hringurinn er aftur kominn í upphaflega stöðu?

Lausn

Braut punktsins $P$ er þríhyrningur $A^\circ B^\circ C^\circ$ sem er einslaga $A B C$. Látum $D$ vera fótpunkt þverilsins á $A B$ gegnum $A^\circ$ og látum $E$ vera skurðpunkt línunnar gegnum $A^\circ$ og $D$ við strikið $A C$. Setjum $x=|A D|$ og $y=|A^\circ E|$. Látum $F$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ gegnum $A^\circ$. Athugum að þríhyrningarnir $A D E$ og $A^\circ F E$ eru einslaga $A B C$. Því er $$ \frac{x}{8}=\frac{|A D|}{|A B|}=\frac{|E D|}{|B C|}=\frac {1+y}6 \quad\quad \text{ og } \quad\quad \frac{1}{8}=\frac{|A^\circ F|}{|A B|}=\frac{|A^\circ E|}{|A C|}=\frac{y}{10}, $$ og þar með er $$ x=\frac{8}{6}\left(1+\frac{10}{8} \right)=3. $$ Nú sjáum við að $|A^\circ B^\circ|=8-3-1=4$ og þar með er hlutfallið milli samsvarandi hliða í þríhyrningunum $A^\circ B^\circ C^\circ$ og $A B C$ jafnt $\frac{1}{2}$. Ummál $A^\circ B^\circ C^\circ$ er þá hálft ummál $A B C$ eða $12$.

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Í hvert svæðanna A, B, C, D, E, F, G er í byrjun lögð króna þannig að þorskurinn snúi upp. Tvær aðgerðir eru leyfilegar: (1) snúa öllum krónunum innan einhvers hringsins við; (2) sjá til þess að þorskurinn snúi upp á öllum krónunum innan einhvers hrings.

Lausn

(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 21. Neðra stig 1993-94

Inni í ferningi er minni ferningur þannig að hliðar þeirra eru samsíða. Dregin eru strik milli hornpunkta eins og myndin sýnir. Sýnið að samanlagt flatarmál $A$ og $C$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $B$ og $D$.

Lausn

Svæðin $A$, $B$, $C$ og $D$ eru trapisur. Táknum með $h_A$, $h_B$, $h_C$ og $h_D$ hæðir þeirra. Táknum hliðarlengd stærri ferningsins með $x$ og hliðarlengd þess minni með $y$. Regla um flatarmál trapisu segir að flatarmál $A$ er $F_A=\frac{1}{2}h_A(x+y)$ og sambærilegt fyrir flatarmál hinna svæðanna. Tökum eftir að $h_A+h_C=x-y$, þannig að $$ \begin{aligned} F_A+F_C&=\frac{1}{2}h_A(x+y)+\frac{1}{2}h_C(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(h_A+h_C)(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(x-y)(x+y). \end{aligned} $$ Eins sést að $F_B+F_D=\frac{1}{2}(x-y)(x+y)$ og því er $F_A+F_C=F_B+F_D$.

Dæmi 22. Neðra stig 1993-94

Hversu margar náttúrlegar tölur hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð (eins og til dæmis talan $2458$)?

Lausn

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.

Dæmi 21. Neðra stig 1992-93

Um náttúrlegu tölurnar $a,b,c,d$ gildir að $a^5 = b^6$, $c^3=d^4$ og $d-a=61$. Finnið $a,b,c$ og $d$.

Lausn

Lausn: Af jöfnunni $a^5=b^6$ leiðir að til er náttúruleg tala $x$ þannig að $a=x^6$ og $b=x^5$. Til að sjá þetta þá frumþáttum við tölurnar $a$ og $b$ $$ a = p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{n}^{k_{n}}, \quad b = q_{1}^{j_{1}} \cdots q_{m}^{j_{m}} $$ þar sem $p_{1} \lt \cdots \lt p_{n}$ og $q_{1} \lt \cdots \lt q_{m}$. Nú er $a^5 = b^6$ og frumþáttunin er ótvíræð svo að $m=n$ og $p_{l}=q_{l}$, $5k_{l}=6j_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Nú hafa $5$ og $6$ engan sameiginlegan þátt og því gengur $5$ upp í $j_{l}$ og $6$ upp í $k_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Setjum $x=p_{1}^{k_{1}/6} \cdots p_{n}^{k_{n}/6}$. Þá er ljóst að $x^6=a$ og $x^5=b$.

Á sama hátt sést að til er náttúrleg tala $y$ þannig að $c=y^4$ og $d=y^3$. Af jöfnunni $d-a=61$ fæst þá að $y^3-x^6=61$. Nú er $$ 61 = y^3-x^6=(y-x^2)(y^2+yx^2+x^4). $$ Þar sem 61 er frumtala og $y^2+yx^2+x^4 \gt 1$ þá er $y-x^2=1$ og $y^2+yx^2+x^4=61$. Af fyrri jöfnunni fæst $y=x^2+1$ og seinni jafnan gefur þá að $$ 0 = (x^2+1)^2 + x^2(x^2+1) + x^4 - 61 = 3(x^2 - 4)(x^2 + 5). $$ Þá er $x^2=4$ og því er $x=2$ og $y=1+x^2=5$.

Við fáum nú að $a=x^6=2^6=64$, $b=x^5=2^5=32$, $c=y^4=5^4=625$ og $d=y^3=5^3=125$.

Dæmi 22. Neðra stig 1992-93

Á myndinni eru $A B$, $M N$ og $B C$ snertlar við hringinn sem hefur miðju í $O$. Gefið er að $\angle A B C=50^\circ$. Ákvarðið $\angle M O N$.

Lausn

Látum $P$ vera snerti-punkt striksins $MN $ við hringinn. Þá eru þríhyrningarnir $M O A$ og $M O P$ greinilega eins (þeir eru báðir rétthyrndir, hafa sameiginlega langhlið og skammhliðarnar $O A$ og $O P$ eru jafn langar). Sér í lagi eru hornin $\angle M O A$ og $\angle M O P$ jafn stór. Á sama hátt sést að hornin $\angle N O C$ og $\angle N O P$ eru jafn stór. Hornið $\angle M O N$ er því helmingur hornsins $\angle A O C$. Í ferhyrningnum $A B C O$ eru hornin við $A$ og $C$ rétt og hornið við $B$ er $50^\circ$ svo hornið við $O$ er $130^\circ$. Því er hornið $\angle M O N = 65^\circ$.