Skip to Content

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $p$ og $q$ vera jákvæðar rauntölur. Sýnið að $$(p^2+p+1)(q^2+q+1)\geq 9p q.$$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1996-97

Þrjú strandríki vilja skipta með sér þríhyrningslaga hafsvæði $A B C$. Ríkin þrjú eiga hvert sitt skerið í hornpunktum þríhyrningsins. Eftir langar og erfiðar samningaviðræður verður eftirfarandi regla til: Þegar ákvarða á hvaða ríki fær yfirráðarétt yfir punkti $P$ innan í $A B C$, þá er mæld fjarlægðin frá $P$ yfir í skerin þrjú (hornpunktana) og punkturinn tilheyrir svo því ríki sem á skerið sem er næst honum. Finnið skilyrði á lögun þríhyrningsins $A B C$ (skilyrði á hornin eða hlutföll hliða) sem þarf að vera uppfyllt til þess að einhver tvö ríkjanna eigi ekki samliggjandi hafsvæði.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $x$ vera rauntölu. Sannið að um einhverja af tölunum $x,2x,\ldots, 99x$ gildir að munurinn á henni og einhverri heilli tölu er minni en $\frac{1}{100}$.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1996-97

Sannið að ef teknar eru einhverjar $18$ þriggja stafa tölur í röð, þá er að minnsta kosti ein þeirra deilanleg með þversummu sinni.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1996-97

Í þríhyrningi $A B C$ gildir að $b\geq a$. Táknum með $M$ miðpunkt hliðarinnar $c$ og með $H$ fótpunkt hæðarinnar frá $C$. Sýnið að $$|M H|=\frac{b^2-a^2}{2 c}.$$

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1996-97

Á fundi í Karphúsinu sátu $29$ menn saman í kringum hringborð. Allir þessir menn voru með þeim ósköpum fæddir að annaðhvort sögðu þeir aldrei satt orð eða hvert einasta orð sem þeir sögðu var satt. Og þar sem þeir sitja þarna í kringum borðið segja þeir allir í kór „Næst mér á báðar hendur sitja lygarar“. Sýnið að í það minnsta $10$ af mönnunum segja alltaf satt. Er mögulegt að nákvæmlega $10$ af þeim séu sannsöglir?

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1995-96

Gefnar eru $52$ heiltölur. Sýnið að meðal þeirra séu tvær tölur, þannig að $100$ gangi annað hvort upp í summu eða mismun þeirra.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1995-96

Um rununa $\{ a_n\}$ er gefið að $$ a_{n+1}=\dfrac {a_n}{1+na_n} \quad\quad \text{ og } \quad\quad a_1=1. $$ Finnið $a_{1996}$.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1995-96

(a) Sýnið fram á að öll margfeldi af tölunni $99$, frá og með $1\cdot 99$ til og með $100\cdot 99$, hafi þversummuna $18$.

(b) Sýnið fram á að öll heil margfeldi af tölunni $10^n-1$, frá og með $1\cdot(10^n-1)$ til og með $10^n\cdot (10^n-1)$, hafi þversummuna $n\cdot 9$.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1995-96

Í ferningslaga bókaskáp eru tvær jafn þykkar og jafn háar bækur skorðaðar eins og myndin sýnir. Ef hæð skápsins er $1$ lengdareining, hver er þá þykkt bókanna?





Syndicate content