1995-96 | stæ.is

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Í þríhyrningnum $A B C$ liggur punkturinn $D$ á hliðinni $c$, þannig að $\angle B C D=\angle A$. Gefið er $a=5$ og $|B D|=3$. Þá er lengd $c$ jöfn

Lausn

Nú er $\angle C D B=\angle C A B+\angle A C D=\angle B C D+\angle A C D=\angle ACB$ og augljóslega er $\angle CBD=\angle ABC$ svo þríhyrningarnir $A C B$ og $CDB$ eru einslaga. Þá er $$\frac{3}{5}=\frac{|B D|}{|B C|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{5}{|A B|}$$ svo að $|A B|=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}$.

Dæmi 14. Neðra stig 1995-96

Stærðtáknið $$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}},$$ er jafnt

Lausn

Lengjum fyrra brotið með $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ og það seinna með $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$ og fáum $$ \frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{(a+1)-a}-\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(a+1)-a} =2\sqrt{a}.$$

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Á myndinni má sjá sex mismunandi aðferðir til að pakka saman sex gosdrykkjadósum. Utan um dósirnar er bundinn þráður sem teygist ekki. Í sumum tilvikum hefur þráðurinn utan um dósirnar sömu lengd. Í hve mörgum tilvikum fáum við minnstu mögulegu lengd?

Lausn

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Dæmi 16. Neðra stig 1995-96

Ef við skrifum heilu tölurnar frá $1$ upp að $999$ (báðar meðtaldar) niður á blað, hvað höfum við þá skrifað tölustafinn $0$ oft?

Lausn

Byrjum á að skrifa tölurnar frá $0$ og upp í $999$ niður á blað. Ef talan hefur færri en $3$ tölustafi, þá skrifum við $0$ fyrir framan hana. Þannig skrifum við $007$ fyrir $7$ og $075$ í stað 75. Við höfum þá skrifað $1000$ tölur, þrjá tölustafi í hverri tölu og augljóslega höfum við skrifað hvern tölustafanna $10$ jafn oft. Við höfum því skrifað $3\cdot 1000/10=300$ núll. Núna strokum við út öll núll í upphafi talna þannig að í stað $027$ standi 27 o.s.frv. Þá standa eftir tölurnar frá $1$ og upp í $999$. Við höfum þá strokað $0$ úr hundruðasæti í tölunum $000$ til $099$, samtals $100$ stykki. Einnig strokuðum við út $10$ núll í tugasætunum í tölunum $00$ til $09$, samtals $10$ stykki. Að lokum strokuðum við einnig út töluna $0$. Þá höfum við strokað út $111$ núll og eftir eru $300-111=189$ núll.

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Dæmi 2. Neðra stig 1995-96

Rétthyrningi með kantlengdirnar $5$ og $10$ er skipt í fjóra þríhyrninga eins og myndin sýnir. Flatarmál tveggja þríhyrninga er sýnt á myndinni. Flatarmál svæðisins sem merkt er með $A$ er

Lausn

Lítum fyrst á þríhyrninginn sem hefur flatarmál $18$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þeim þríhyrningi er $\frac{2\cdot 18}{5}=\frac{36}{5}$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þríhyrningnum sem er merktur $A$ er þá $10-\frac{36}{5}=\frac{50-36}{5}=\frac{14}{5}$ svo að flatarmál svæðisins $A$ er $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{14}{5}=7$.

Dæmi 3. Neðra stig 1995-96

Ef $a=b=c$ og $a+b+c=1$, þá er gildið á $$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) \left(1+\frac{1}{c}\right)$$

Lausn

Þar sem $a=b=c$ og $a+b+c=1$, þá er $a=b=c=\frac{1}{3}$ svo að $$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=(1+3)^3=64.$$

Dæmi 4. Neðra stig 1995-96

Gerum ráð fyrir að allir ráðherrar séu þingmenn og að sumir lögfræðingar séu ráðherrar. Hverjar eftirtalinna fullyrðinga hljóta þá að vera réttar:

X: Allir þingmenn eru lögfræðingar.

Y: Sumir lögfræðingar eru þingmenn.

Z: Til eru lögfræðingar sem eru ekki ráðherrar.

Lausn

Gefið er að sumir lögfræðingar eru ráðherrar og því er til lögfræðingur sem er ráðherra. En gefið er að allir ráðherrar séu þingmenn og því er til lögfræðingur sem er þingmaður. Því eru sumir lögfræðingar þingmenn. Fullyrðing Y er því rétt. Hinar fullyrðingarnar þurfa ekki að vera réttar. Þó sumir lögfræðingar séu ráðherrar, þá geta verið ráðherrar sem eru ekki lögfræðingar og því einnig þingmenn sem eru ekki lögfræðingar. Fullyrðing X þarf því ekki að gilda. Þó sumir lögfræðingar eru ráðherrar, þá þurfa ekki allir lögfræðingar að vera ráðherrar svo vel geta verið til lögfræðingar sem eru ekki ráðherrar. Fullyrðing Z þarf því ekki að gilda.

Dæmi 5. Neðra stig 1995-96

Ef þú stendur fyrir framan bílinn hennar Jarþrúðar, þá geturðu lesið stafina framan á honum. Þegar Jarþrúður keyrir á nýja bílnum sínum á eftir þér, þá sérðu í baksýnisspeglinum framan á bíl Jarþrúðar letrað

Lausn

Það sem við sjáum í baksýnisspeglinum er það sem við fáum þegar við speglum um lóðrétta línu. Stafirnir verða þá í röðinni Z, N, E, B og hver þeirra speglaður um lóðrétta línu. Svarið er því .

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96

Sexhyrnd stjarna er mynduð með því að framlengja hliðarnar í reglulegum sexhyrningi. Ef ummál sexhyrningsins er $21$, þá er ummál stjörnunnar

Lausn

Þegar við framlengjum hliðarnar fáum við jafnhliða þríhyrninga á hverja hlið sexhyrningsins. Í stað hverrar hliðar sexhyrningsins koma þá hinar tvær hliðarnar á þríhyrningunum. Sjáum þá að ummálið tvöfaldast og verður því $2\cdot 21=42$.