stæ.is

Svar:9

Lausn: Látum $n$ tákna fjölda liða. Hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna og leikur því $n - 1$ leik. Því eru alls leiknir $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$ leikir á mótinu. Heildarfjöldi vinninga sem liðin fá er því $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$. Upplýsingar okkar segja að efsta liðið fékk $n - 2$ vinninga, neðsta liðið fékk $1$ vinning, og hin liðin, $n - 2$ að tölu, fengu $4$ vinninga hvert. Heildar fjöldi vinninga er því $(n-2)+1+(n-2)\cdot 4=5 n - 9$. Fáum þá jöfnuna \[ \frac{n\cdot (n - 1)}{2} = 5n - 9 , \] Sem er jafngild jöfnunni $n^2 - 11n + 18 =0$. Þegar þessi jafna er leyst fæst að $n=2$ eða $n=9$. Það að bara tvö lið hafi verið í mótinu fær ekki staðist, þá er bara leikinn einn leikur og samkvæmt forsendunum þá vinnur neðsta liðið þann leik og er því ekki neðst! Liðin eru því $9$.