Við sýnum að það er meira að segja hægt að þekja blettinn með tveimur mottum.

Ef $r$ er geisli blettsins, þá er flatarmál hans $\pi r^2=1$ og því $r=\frac{1}{\sqrt\pi}$. Látum $O$ vera miðpunkt hringsins og $ABCD$ vera aðra mottuna. Við leggjum hana nú þannig að hringurinn snerti hliðarnar $AB$ og $BC$. Við látum $Q$ vera fótpunkt þverilsins gegnum $O$ á hliðina $AD$. Nú er $1\gt 1/\sqrt{\pi}$ þar sem $\pi\gt 1$ og því er $O$ innaní ferningnum. Einnig er þvermál hringsins $2/\sqrt{\pi}$, sem er stærra en 1 þar sem $\pi\lt 4$, og því er $Q$ innaní hringnum og $|OQ|=1-1/\sqrt{\pi}$. Þá sker hringurinn strikið $AQ$ í punkti $P$. Regla Pýþagorasar gefur nú að $$ |PQ|^2=|OP|^2-|OQ|^2=\frac{1}{\pi}-\left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 =\frac{2}{\sqrt{\pi}}-1.$$

Við leggjum nú hina mottuna $A’B’C’D’$ þannig að hringurinn snerti hliðarnar $A’D’$ og $C’D’$ í punktum gengt snertipunktum hinnar mottunnar við hringinn. Til að sýna að motturnar hylji nú blettinn nægir augljóslega að sýna að punkturinn $P$ lendi undir seinni mottunni, það er að $P$ sé í minni fjarlægð en 1 frá hliðinni $C’D’$, það er að $$|PQ|+\frac{1}{\sqrt{\pi}}\lt 1.$$ Við þurfum þá að sýna að $$ \frac{2}{\sqrt{\pi}}-1=|PQ|^2\lt \left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2$$ sem jafngildir $$ 0\lt 2\pi-4\sqrt{\pi}+1=2(\sqrt{\pi}-1)^2-1$$ svo okkur nægir að sýna að $(\sqrt{\pi}-1)^2\gt 1/2$. Við vitum að fyrstu þrír stafir $\pi$ eru $\text{3,14}$. Nú er $\text{1,75}^2=(2-\text{0,25})^2=4-1+\text{0,125}=\text{3,125}$ svo að $\text{1,75}\lt \sqrt{\pi}$ og því $\sqrt\pi-1\gt 0,75$. En $\text{0,75}^2=(1-\text{0,25})^2=1-\text{0,5}+\text{0,125}\gt \text{0,5}$ svo við höfum sannað ójöfnuna.

Lausn: Látum $D$ og $E$ vera skurðpunkta línanna gegnum $P$ við $AB$ og $F$ og $G$ vera skurðpunkta hliðanna $A C$ og $BC$ við línuna gegnum $P$ sem er samsíða $A B$. Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línum. Af því má álykta að litlu þríhyrningarnir þrír og sá stóri eru allir einslaga. Einnig má álykta að strikin $FP$ og $AD$ séu jafn löng, og sömu leiðis $P G$ og $E B$ (því mótlægar hliðar í samsíðungi eru jafn langar). Látum $x$ tákna lengd $F P$ og $A D$, og $y$ tákna lengd $P G$ og $E B$, og $z$ tákna lengd $DE$. Athugum nú, að ef hlutfall samsvarandi hliða tveggja einslaga þríhyrninga er $k$, þá er hlutfall flatarmála þeirra $k^2$ (sbr. dæmi 10). Því fæst $\left(\frac{y}{x} \right)^2=\frac{9}{4}$ svo að $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ og $\left(\frac{z}{x} \right)^2=\frac{49}{4}$ svo að $\frac{z}{x}=\frac{7}{2}$. Lengd $A B$ er $x+y+z$ og $$\frac{x+y+z}{x}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=6.$$ Því eru hliðar þríhyrningsins $A B C$ sexfalt lengri en samsvarandi hliðar þess minnsta, og flatarmál $A B C$ því 36 sinnum stærra, eða $36\cdot 4=144$.

Svar: 27

Lausn: Talan $G$ er skilgreind sem $100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot … \cdot 199 \cdot 200$. Veldið $n$ finnst með því að fara í gegnum tölurnar $100, 101, 102, … , 199, 200$, og telja hvað $5$ gengur upp í mörgum þeirra, og þá hversu oft. Útkoman úr þessari talningu er $n$-ið okkar. Á bilinu frá $100$ til $200$ er $21$ tala sem $5$ gengur upp í $(100, 105, … , 200)$, $5^2$ gengur upp í fimm þeirra $(100, 125, 150, 175, 200)$ og $5^3$ gengur upp í eina $(125)$. Því eru það $16$ tölur sem $5$ gengur einu sinni upp í, $4$ tölur sem $5$ gengur tvisvar upp í, og ein sem $5$ gengur þrisvar upp í. Þá er $n=21+5+1=27$.

Svar: Reikningur skósmiðsins var $30$ kr. og reikningur skraddarans var $80$ kr.

Lausn: Táknum með $x$ upphæð reikningsins frá skósmiðnum og með $y$ upphæð reikningsins frá skraddaranum. Samtals eru reikningarnir $110$ kr., svo $x + y = 110$. Stúdentinn greiddi, með $30$ kr., fjórðung af reikningi skradd- arans og þriðjung af reikningi skósmiðsins, sem segir að $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} y = 30$. Margföldum nú báðar hliðar seinni jöfnunnar með $3$ og drögum frá þeirri fyrri. Þá fæst að $\frac{1}{4}y=20$,eða y=80. Af jöfnunni $x+y=110$ sést nú að $x = 30$. (Þetta dæmi er úr Dæmasafni fyrir Alþýðu- og Gagnfræðaskóla eftir Guðmund Arnlaugsson og Þorstein Egilsson, sem gefið var út $1938$.)