Skip to Content

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1993-94

Á hversu marga vegu er unnt að raða tölunum $1,2,\ldots,n$ í sæti þannig að eftirfarandi gildi fyrir sérhvert $i = 2,\ldots,n$: Talan í $i$-ta sæti er annaðhvort minni en allar tölurnar á undan eða stærri en allar tölurnar á undan.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1993-94

Reynir er að flísaleggja rétthyrningslaga gólfflöt. Til þess notar hann hvítar og svartar ferningslaga flísar sem hann leggur í munstur eins og á skákborði. Hann byrjar á að setja heila flís í eitt hornið og heldur áfram út frá því horni. Þegar hann hefur lokið við flísalagninguna þá tekur hann eftir því að samanlagt flatarmál hvítu flísanna á gólfinu er jafnt samanlögðu flatarmáli svörtu flísanna. Sýnið að önnur hliðarlengd gólfflatarins er heilt margfeldi af hliðarlengd flísanna og að fjöldi flísa meðfram þessari hlið er jöfn tala.

Dæmi 15. Efra stig 1993-94

Finnið allar rauntölulausnir jöfnunnar $$ x^2+x = \frac{2}{x^2+x+1}. $$

Dæmi 18. Efra stig 1993-94

Látum $\alpha,\beta,\gamma$ tákna stærð hornanna í þríhyrningi og gerum ráð fyrir að $\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\gamma)$. Reiknið $$ \frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)}. $$

Dæmi 19. Efra stig 1993-94

Miðstreng $AC$ í hring er skipt í fjögur jafnlöng strik með $P$, $M$ og $Q$. Dregin er lína um $P$ sem sker hringinn í $B$ og $D$ þannig að $2|PD|=3|AP|$. Hvert er flatarmál ferhyrningsins $A B C D$ ef flatarmál þríhyrningsins $A B P$ er $1$?

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1993-94

Fimmburarnir Ari, Bryndís, Davíð, Elín og Guðjón fæddust á klukkutíma fresti. Hver þeirra um sig veit hvar í röðinni hann fæddist. Guðjón veit líka að Elín fæddist tveimur tímum á undan Bryndísi. Guðjón segir: „Ef ég gef mér þá forsendu, sem mér finnst mjög trúleg, að Ari sé ekki elstur, þá veit ég í hvaða röð við fæddumst.Þessi ,,trúlega forsenda, sem Guðjón gaf sér, er reyndar alveg hárrétt. Í hvaða röð fæddust fimmburarnir?

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1993-94

Sýnið að brotið $$ \frac{n^2+n-1}{n^2+2n} $$ sé fullstytt fyrir allar náttúrlegar tölur $n\gt 0$.

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1993-94

Gefið er strik $A B$, hringur með miðju $A$ sem liggur gegnum $B$ og annar hringur með miðju $B$ sem liggur gegnum $A$. Ferningurinn $C D E F$ hefur tvo hornpunkta sína á strikinu $AB$ og hina tvo hvorn á sínum hringnum, eins og myndin sýnir. Reiknið hliðarlengd hans ef lengd $|A B|=1$.







Dæmi 4. Úrslitakeppni 1993-94

Finnið allar margliður $x^3+a x^2+b x+c$ þannig að $a$, $b$ og $c$ séu heilar tölur og þær séu jafnframt rætur margliðunnar.

Dæmi 3. Efra stig 1993-94

Ritum $a * b$ í stað $a^{b}$. Þá er $\frac{2 * (2 * (2 * 2))}{((2 * 2) * 2) * 2}$ jafnt

Syndicate content