Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$. Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins $$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$, $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$. Flatarmál þríhyrningsins $A B C$, sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$, $B C O$ og $A C O$ og því er $$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$$ Við fáum þá að $h=3(h-1)$ og því er $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að $$ x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$$ og $$ 1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2. $$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er $x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að $$ 0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h $$ svo að $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að $$ \frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$$ og því $h=\frac{3}{2}$.

Látum $D$ vera miðpunkt $B C$. Þar sem miðpunktur umritaðs hrings þríhyrnings er skurðpunktur miðþverla hliðanna, þá er $O D$ hornrétt á $B C$. Þar sem þríhyrningurinn $A B C$ er jafnarma með topphorn í $A$, þá liggur $A$ á miðþverli $B C$. En þá liggja punktarnir $A$, $O$ og $D$ allir á sömu línunni sem er hæðin á $B C$ í þríhyrningnum $A B C$. Höfum þá að flatarmál $A B O C$ er $$ \begin{aligned} |A B O C|&=|A B C|-|O B C|=\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|AD|-\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|O D| \\ &=\frac{1}{2}r(r+h)-\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}r^2 \end{aligned} $$ þar sem $h=|O D|$.

Stærð kálgarðsins er mæld í kálhausum. Þegar við segjum að hliðarlengd kálgarðsins í fyrra hafi verið $x$ þá meinum við að hægt sé að rækta $x$ kálhausa í röð eftir hliðinni. Þá var uppskeran í fyrra $x^2$ kálhausar og ef hliðarlengd kálgarðsins er núna $y$ þá er uppskeran í ár $y^2$ kálhausar. Því er $211=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$. Þar sem $211$ er frumtala og Amma Önd ræktar einungis heila kálhausa fæst að $x+y=211$ og $y-x=1$, sem gefur $y=106$ og $x=105$. Uppskeran í haust er því $106^2=(100+6)^2=10.000+1200+36=11.236$ kálhausar.

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.