Hvað eru til margir þríhyrningar þannig að lengdir allra hliðanna séu heilar tölur og ummálið sé 10?
Svar: $2$
Lausn: Ef $a, b, c$ eru hliðarlengdir í þríhyrningi, þá verður að gilda að $a+b \gt c$, $a+c \gt b$ og $b+c \gt a$. Inntak þessara jafna er sú staðreynd að stysta leið á milli tveggja punkta er bein lína. Nú er ein hliðin að minnsta kosti $4$ því ef hver hlið í þríhyrningi er minni eða jöfn $3$, þá er ummálið minna eða jafnt $9$. Ef hinsvegar ein hliðin er $5$, þá er summa hinna $10 - 5 = 5$ í mótsögn við að summa lengda tveggja hliða sé ávallt stærri en lengd þriðju hliðarinnar. Því hefur ein hliðin lengd $4$, lengdir hinna tveggja eru minni eða jafnar $4$ og summa þeirra er $10 - 4 = 6$. Til greina koma þá þríhyrningar með hliðarlengdir $3, 3, 4$ og hliðarlengdir $2, 4, 4$. Ljóst er að slíkir þríhyrningar eru til.