N3 | stæ.is

Dæmi 18. Neðra stig 1996-97

Tölurnar frá $1$ upp í $999$, að báðum meðtöldum, eru skrifaðar á blað. Hver er summa allra tölustafanna?

Lausn

Summa tölustafanna breytist ekki þó við byrjum á $0$ í stað $1$ og bætum $0$-um fyrir framan eins og tveggja stafa tölur þannig að allar tölurnar séu þriggja stafa. Nú er ljóst að við höfum skrifað alla tölustafina $0,1,\ldots, 9$ jafn oft. Þar sem við höfum alls skrifað $3000$ tölustafi þá hefur hver verið skrifaður $300$ sinnum og summa þeirra allra því $$300\cdot(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=300\cdot 45=13.500.$$

Dæmi 19. Neðra stig 1996-97

Tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ eru núllstöðvar margliðunnar $$P(x)=x^7+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$$ Í upptalninguna á núllstöðvunum vantar eina núllstöð, hver er hún?

Lausn

Almennt gildir að ef $r_1,\ldots,r_n$ eru núllstöðvar $n$-ta stigs margliðu $Q(x)$ með forystustuðul $1$, þá er $$ \begin{aligned} Q(x)&=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\\ &=x^n-(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nr_1\cdots r_n. \end{aligned} $$ Stuðullinn við næst hæsta veldið er því alltaf summa núllstöðvanna með öfugu formerki. Í margliðunni $P(x)$ er stuðullinn við næst hæsta veldið $0$, svo að summa núllstöðvanna er $0$. Því er núllstöðin sem vantar $-21$.

Dæmi 20. Neðra stig 1996-97

Á myndinni má sjá hring með miðju í $A$ og geisla $9$, og annan minni hring með miðju í $D$ og geisla $4$. Sameiginlegir snertlar $B C$ og $E F$ eru dregnir. Ákvarðið lengd $E F$

Lausn

Skurðpunktur tveggja snertla við hring hefur sömu fjarlægð frá snertipunktunum. Því er $|E F|=|B F|$ og $|E F|=|F C|$. Þá er $|B C|=|B F|+|F C|=2\cdot |E F|$. Drögum nú línu í gegnum $D$ sem er samsíða $B C$ og táknum skurðpunkt þessarar línu við $A B$ með $G$. Þá er $|B C|=|G D|$. Lengd $G D$ má reikna með reglu Pýþagorasar, $$|D G|=\sqrt{|A D|^2-|A G|^2}=\sqrt{(9+4)^2-(9-4)^2} =\sqrt{4\cdot4\cdot9}=12.$$ Þá er $2\cdot |EF|=12$, svo $|EF|=6$.

Dæmi 16. Neðra stig 1996-97

Í Langtíburtistan er haldin stærðfræðikeppni sem í eru $25$ dæmi. Fyrir rétt svar eru gefin $4$ stig en eitt stig er dregið frá fyrir rangt svar. Keppandi sem svaraði öllum spurningunum fékk $70$ stig. Hvað svaraði hann mörgum spurningum rétt?

Lausn

Ef keppandinn svaraði $x$ dæmum rétt, þá svaraði hann $25-x$ dæmum rangt því hann svaraði öllum dæmunum í keppninni. Hann hlaut þá $4x$ stig fyrir rétt svör en frá voru dregin $25-x$ stig fyrir röng svör. Hann hlaut $70$ stig svo að $4x-(25-x)=70$. Þá er $5x=95$ svo að $x=19$.

Dæmi 17. Neðra stig 1996-97

Klukkan $10$ fyrir hádegi hleypur hlaupari af stað í norðurátt frá punkti $A$. Hraði hans er $10$ km á klukkustund. Hálftíma síðar hjólar hjólreiðamaður af stað frá punkti $B$ sem er $25$ km austan við $A$. Hjólreiðamaðurinn hjólar í norðvestur átt. Nú vill svo til að hlauparinn og hjólreiðamaðurinn hittast. Hver var hraði hjólreiðamannsins?

Lausn

Köllum staðinn sem þeir mætast í $C$. Þá er $A B C$ rétthyrndur jafnarma þríhyrningur með skammhliðar sem eru 25 km og langhlið sem er $\sqrt{2}\cdot 25$ km. Vegalengdin $|A C|$ sem hlauparinn hefur farið þegar þeir hittast er þá $25$ km og það hefur tekið hann $2,5$ klukkustund að hlaupa hana þar sem hann fer 10 kílómetra á klukkustund. Hjólreiðamaðurinn lagði hálftíma seinna af stað svo það hefur tekið hann $2$ klukkustundir að fara $|B C|=\sqrt{2}\cdot 25$ km. Hraði hjólreiðamannsins er því $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 25$ km á klukkustund.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Dæmi 16. Neðra stig 1995-96

Ef við skrifum heilu tölurnar frá $1$ upp að $999$ (báðar meðtaldar) niður á blað, hvað höfum við þá skrifað tölustafinn $0$ oft?

Lausn

Byrjum á að skrifa tölurnar frá $0$ og upp í $999$ niður á blað. Ef talan hefur færri en $3$ tölustafi, þá skrifum við $0$ fyrir framan hana. Þannig skrifum við $007$ fyrir $7$ og $075$ í stað 75. Við höfum þá skrifað $1000$ tölur, þrjá tölustafi í hverri tölu og augljóslega höfum við skrifað hvern tölustafanna $10$ jafn oft. Við höfum því skrifað $3\cdot 1000/10=300$ núll. Núna strokum við út öll núll í upphafi talna þannig að í stað $027$ standi 27 o.s.frv. Þá standa eftir tölurnar frá $1$ og upp í $999$. Við höfum þá strokað $0$ úr hundruðasæti í tölunum $000$ til $099$, samtals $100$ stykki. Einnig strokuðum við út $10$ núll í tugasætunum í tölunum $00$ til $09$, samtals $10$ stykki. Að lokum strokuðum við einnig út töluna $0$. Þá höfum við strokað út $111$ núll og eftir eru $300-111=189$ núll.

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Hver er $1995$. aukastafurinn þegar almenna brotið $\frac{1}{13}$ er skrifað sem tugabrot?

Lausn

Þá er $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}$. Nú er $1995=332\cdot 6+3$ svo að $1995$. aukastafur $\frac{1}{13}$ er sá sami og þriðji aukastafurinn eða $6$.