Svæðið er spegilsamhverft um núllpunktinn því ef $(x,y)$ er í svæðinu, þá er $(-x,-y)$ það einnig. Flatarmál svæðisins sem liggur í efra hálfplaninu er þá helmingur flatarmáls alls svæðisins. Í fyrsta fjórðungi plansins höfum við $x\geq 0$ og $y\geq 0$ og þar er því ójafnan jafngild $x+y+(x+y)\leq 2$ og þar með $x+y\leq 1$. Þessi ójafna afmarkar þríhyrningslaga svæði með hornpunkta $(0,0)$, $(1,0)$ og $(0,1)$. Flatarmál þess er $\frac{1}{2}$.

Næst skoðum við punktana sem liggja í öðrum fjórðungi. Þar er $x\leq 0$ og $y\geq 0$ og því ójafnan jafngild $-x+y+|x+y|\leq 2$ þar. Til þess að átta okkur á algildinu sem eftir er, þurfum við að skipta fjórðungnum í tvennt með línunni $x+y=0$. Fyrir ofan línuna höfum við að $y\geq -x$ og þar er ójafnan jafngild $-x+y+(x+y)\leq 2$ sem aftur er jafngild $y\leq 1$. Þessar ójöfnur afmarka þríhyrninginn með hornpunktana $(0,0)$, $(0,1)$ og $(-1,1)$. Flatarmál hans er $\frac{1}{2}$. Fyrir neðan línuna sem gefin er með jöfnunni $x+y=0$ höfum við $y\leq -x$ og þar er ójafnan jafngild $-x+y-(x+y)\leq 2$ sem aftur jafngildir $x\geq -1$. Þessi hluti svæðisins er þríhyrningur með hornpunktana $(0,0)$, $(-1,1)$ og $(-1,0)$. Hann hefur einnig flatarmálið $\frac{1}{2}$.

Við höfum þá séð að sá hluti svæðisins sem liggur í tveimur fyrstu fjórðungum plansins samanstendur af þremur þríhyrningum sem hver um sig hefur flatarmálið $\frac{1}{2}$. Flatarmál svæðisins alls er því $6\cdot \frac{1}{2}=3$.

Skrifum tölurnar $x_1,x_2,\ldots, x_{52}$ á 52 miða og stillum 51 skúffu upp fyrir framan okkur sem við númerum frá 0 og upp í 50. Látum $r_j$ vera afganginn þegar við deilum 100 í $x_j$. Þá er $0\leq r_j \leq 99$. Við setjum nú miðann með $x_j$ í skúffu $r_j$ ef $r_j\leq 50$ en í skúffu $100-r_j$ ef $r_j\gt 50$. Þá fer til dæmis $x_j$ í skúffu $50$ ef $r_j=50$ og í skúffu $49$ ef $r_j=49$ eða $r_j=51$.

Nú eru miðarnir $52$ talsins en skúffurnar aðeins $51$. Því hljóta tveir miðar að lenda í sömu skúffunni. Segjum að það séu miðarnir með tölunum $x_j$ og $x_k$. Ef $r_j=r_k$, þá gengur 100 upp í $x_j-x_k$ en ef $r_j\neq r_k$, þá er $r_j+r_k=100$ og því gengur 100 upp í $x_j+x_k$.

Það nægir að sanna lið (b) því liður (a) er sértilvik af honum. Við veljum $m$ þannig að $1\leq m\leq 10^n$ og setjum $m-1$ fram í tugakerfi sem $$ m-1=\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^k.$$ Þá er $$ \begin{aligned} m(10^n-1)&=10^n(m-1)+10^n-1-(m-1)\\ &=10^n\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10_k+\sum_{k=0}^{n-1}9\cdot 10^k-\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^k\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^{n+k}+\sum_{k=0}^{n-1}(9-x_k)10^k. \end{aligned} $$ Þversumman er því $$ \sum_{k=0}^{n-1}x_k+\sum_{k=0}^{n-1}(9-x_k)=9n.$$

Byrjum á að umrita stæðuna á vinstri hlið jöfnunnar $$ \begin{aligned} x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8 &=(x^2-5x+4)+\left(\frac{1}{x^2}-5\frac{1}{x}+4\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\left(\frac{1}{x}-4\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\frac{1-4x}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\\ &=\left((x-4)-\frac{1-4x}{x^2}\right)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^3-4x^2+4x-1)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^2-3x+1)(x-1)^2 \end{aligned} $$ Sjáum þá að lausnir jöfnunnar eru $x=1$ og rætur margliðunnar $x^2-3x+1$, en þær eru $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.