Skip to Content

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1995-96

(a) Sýnið fram á að öll margfeldi af tölunni $99$, frá og með $1\cdot 99$ til og með $100\cdot 99$, hafi þversummuna $18$.

(b) Sýnið fram á að öll heil margfeldi af tölunni $10^n-1$, frá og með $1\cdot(10^n-1)$ til og með $10^n\cdot (10^n-1)$, hafi þversummuna $n\cdot 9$.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1995-96

Í ferningslaga bókaskáp eru tvær jafn þykkar og jafn háar bækur skorðaðar eins og myndin sýnir. Ef hæð skápsins er $1$ lengdareining, hver er þá þykkt bókanna?





Dæmi 18. Efra stig 1995-96

Látum $p$ og $q$ vera ólíkar jákvæðar heiltölur. Sannið: Að minnsta kosti önnur jafnan $$x^2+p x+q=0 \quad\quad \text{ eða } \quad\quad x^2+q x+p=0,$$ hefur rauntölulausn.

Dæmi 19. Efra stig 1995-96

Sannið að til sé náttúruleg tala $n$ þannig að $$1996^{1995}\lt 1995^n\lt 1996^{1996}.$$

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1995-96

Hvert er flatarmál svæðisins, sem markast af ójöfnunni $$|x|+|y|+|x+y|\leq 2?$$

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1995-96

Gerum ráð fyrir að $a$, $b$ og $c$ séu þrjár núllstöðvar (rætur) margliðunnar $p(x)=x^3-19x^2+26x-2$. Reiknið út stærðina $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}. $$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1995-96

Gefnar eru $52$ heiltölur. Sýnið að meðal þeirra séu tvær tölur, þannig að $100$ gangi annað hvort upp í summu eða mismun þeirra.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1995-96

Um rununa $\{ a_n\}$ er gefið að $$ a_{n+1}=\dfrac {a_n}{1+na_n} \quad\quad \text{ og } \quad\quad a_1=1. $$ Finnið $a_{1996}$.

Dæmi 5. Efra stig 1995-96

Jörmunrekur og Gutti eru í leik þannig að fyrir framan þá er hrúga með $40$ eldspýtum, og fer leikurinn þannig fram að þeir skiptast á að taka eldspýtur úr hrúgunni. Í hvert skipti má taka $1$, $2$, $3$ eða $4$ eldspýtur. Sá tapar sem tekur síðustu eldspýtuna. Gutti hóf leikinn og tryggði sér strax sigur. Hvað tók Gutti margar eldspýtur í fyrsta sinn?

Dæmi 6. Efra stig 1995-96

Hver eftirtalinna margliða gengur upp í $x^{17}-4x^{15}-x^3+4$?

Syndicate content