N1 | stæ.is

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Píluskífa hefur þrjá hringi (sjá mynd). Fjöldi stiga sem fást fyrir að lenda í hverju svæðanna þriggja er eins og sýnt er á myndinni. Minnsti fjöldi pílukasta sem þarf til þess að hljóta nákvæmlega 21 stig er

Lausn

Til að ná stigatölunni 21 þarf að minnsta kosti 5 köst, því fjögur köst í það svæði sem veitir flest stig gefur aðeins 20 stig. Fljótséð er að það má ná 21 stigi í 5 köstum með því að kasta 3 pílum í svæðið sem gefur 5 stig og 2 pílum í svæðið sem gefur 3 stig.

Dæmi 10. Neðra stig 1993-94

Meðalaldur $20$ manna hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir. Nú bætist ein $18$ ára stúlka í hópinn. Hver verður meðalaldurinn þá?

Lausn

Ef meðalaldur $20$ mann hóps er $16$ ár og $3$ mánuðir, þá er samanlagður aldur hópsins $20\cdot 16\frac{3}{12}=320\frac{60}{12}=325$ ár. Þegar $18$ ára stúlka bætist við verður samanlagður aldurinn $325+18=343$ ár og því meðalaldurinn $$\frac{343}{21}=16\frac{7}{21}=16\frac{1}{3}=16\frac{4}{12},$$ það er að segja, $16$ ár og $4$ mánuðir.

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?

Lausn

Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$

Dæmi 3. Neðra stig 1993-94

Hverja myndanna er unnt að nota til að búa til kassann?

Lausn

Hvorug myndanna $A$ eða $B$ kemur til greina því rétthyrndu hliðarnar lenda hvor í annarri þegar þær eru brotnar saman. Mynd $C$ kemur ekki til greina þar sem toppurinn passar ekki. Þá er aðeins mynd $D$ eftir og fljótlegt er að sannfæra sig um að hægt er að brjóta hana saman og fá kassann á myndinni.

Dæmi 4. Neðra stig 1993-94

Lausn jöfnunnar $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1} = 2$ er

Lausn

Hér er sjálfsagt fljótlegast að prófa valmöguleikana. Fyrstu tveir koma ekki til greina þar sem þá er neikvæð stærð undir seinni rótinni. Þá eru aðeins tveir seinni eftir og með því að prófa þá sjáum við að $x=1$ er lausn en ekki $x=2$. Síðasti valmöguleikinn er því sá rétti.

Ef við viljum hinsvegar finna allar lausnir jöfnunnar þá myndum við bera okkur einhvernvegin svona að: Byrjum á að athuga fyrir hvaða $x$ jafnan $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ er skilgreind. Undir rótunum verður að vera frekar jákvæð stærð svo $5x-1\geq 0$ og $x-1\geq 0$, það er $x\geq 1$. En þar sem $\sqrt{x-1}$ er jákvæð stærð, þá er $\sqrt{5x-1}\leq 2$ svo að $5x-1\leq 4$ og því $x\leq 1$. Nauðsynlega er þá $x=1$. Við prófum $x=1$ og sjáum að það er lausn á jöfnunni.

Dæmi 5. Neðra stig 1993-94

Gerum ráð fyrir að $a\gt 0$. Þá er $\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{a}$ jafnt

Lausn

Fyrir $a\gt 0$ höfum við að $$ \sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{3}{a}=a^{\frac{1}{6}}a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} =a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}.$$

Dæmi 6. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er fjarlægðin $A B$ jöfn $3\sqrt{5}$. Finnið fjarlægðina $AC$. (Allir ferningarnir hafa sömu hliðarlengd.)

Lausn

Látum $x$ vera hliðarlengd ferninganna. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er þá $$ 3\sqrt{5}=|A B|=\sqrt{x^2+(2x)^2}=x\sqrt{5}$$ svo að $x=3$. Regla Pýþagorasar gefur þá að $$ |A C|=\sqrt{x^2+(3x)^2}=x\sqrt{10}=3\sqrt{10}.$$

Dæmi 7. Neðra stig 1993-94

Ferningi er breytt í rétthyrning með því að auka breidd hans um $20\%$ og minnka hæð hans um $20\%$. Hvað er hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og upphaflega ferningsins?

Lausn

Látum $x$ tákna hliðarlengd ferningsins. Þá er breidd rétthyrningsins $\text{1,2}x$ og hæð hans $\text{0,8}x$. Flatarmál rétthyrningsins er þá $$ (\text{1,2}x)\cdot (\text{0,8}x)=(1-\text{0,2})(1+\text{0,2})x^2=(1-\text{0,04})x^2=\text{0,96}x^2.$$ Hlutfallið milli flatarmáls rétthyrningsins og ferningsins er þá $\text{0,96}$.

Dæmi 8. Neðra stig 1993-94

Ef $x$ er rauntala, þá er ójafnan $1\le |x-2|\le 7$ jafngild

Lausn

Ef $1\leq |x-2|\leq 7$, þá er $-7\leq x-2\leq -1$ eða $1\leq x-2\leq 7$, það er að segja, $-5\leq x\leq 1$ eða $3\leq x\leq 9$.

Dæmi 9. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er ferhyrningurinn $A B C D$ umritaður um hring. Gefið er að $|A B| = 4$, $|B C| = 5$ og $|C D| = 3$. Hvað er $|D A|$?

Lausn

Látum $P$, $Q$, $R$ og $S$ vera snertipunkta hringsins við hliðarnar $A B$, $B C$, $C D$ og $D A$. Við notfærum okkur nú þá staðreynd að ef armar horns snerta sama hringinn, þá er lengdin frá toppunkti hornsins að snertipunktunum sú sama. Af þessu leiðir að summa mótlægra hliða í ferhyrningnum $A B C D$ er sú sama, það er $|A B|+|C D|=|B C|+|D A|$. Þar með er $$ |D A|=|A B|+|C D|-|B C|=4+3-5=2.$$