Tökum fyrst eftir, þar sem $xyz=1$, að $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)xyz=yz+xz+xy.$$ Við notum nú þessa jöfnu og forsenduna um að $xyz=1$ við eftirfarandi umskrift $$ \begin{aligned} (x-1)(y-1)(z-1) &= xyz+(x+y+z)-(yz+xz+xy)-1\\ &= (x+y+z)-(yz+xz+xy)\\ &= (x+y+z)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right). \end{aligned} $$ En þá sést að $$(x+y+z)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\gt 0,$$ þá og því aðeins að nákvæmlega tvær talnanna $x, y$ og $z$ eru minni en $1$.

Athugum að $$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$$ Því er margfeldið jafnt margfeldinu $$ \begin{aligned} &\frac{2-1}{2}\cdot\frac{2+1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3}\cdots\frac{199-1}{199}\cdot\frac{199+1}{199}\cdot \frac{200-1}{200}\cdot \frac{200+1}{200}\\ =\;& \frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdots\frac{198}{199}\cdot\frac{200}{199}\cdot\frac{199}{200}\cdot\frac{201}{200} =\frac{1}{2}\cdot \frac{201}{200}=\frac{201}{400}.\end{aligned} $$

Látum $x$ tákna töluna sem þarf að leggja við $\frac{1}{b+2}$ til að fá $\frac{1}{b}$. Þá er $x+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{b}$ svo að $$ x=\frac{1}{b}-\frac{1}{b+2}=\frac{(b+2)-b}{b(b+2)}=\frac{2}{b(b+2)}.$$

Byrjum á að athuga að margliðan $x^2+x+1$ hefur enga rauntölurót því aðgreinir hennar $1-4=-3$ er neikvæður. Jafnan sem við eigum að leysa er því jafngild jöfnunni $$(x^2+x)(x^2+x+1)=2.$$ Ef við setjum $t=x^2+x$ þá verður hún $t(t+1)=2$ og því $$0=t^2+t-2=(t+2)(t-1).$$ Þá er annaðhvort $t=-2$ eða $t=1$. Í fyrra tilfellinu er þá $x^2+x+2=0$ sem hefur enga rauntölulausn því aðgreinirinn $1-8=-7$ er neikvæður. Í seinna tilfellinu er $x^2+x-1=0$ sem hefur lausnirnar $\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.