Þrír þríhyrningar í röð eins og á myndum $A$, $B$ og $C$ gefa okkur þrjár hliðar píramítans. Þá vantar norðurhliðina svo það er mynd $C$ sem gefur okkur píramítann.

Táknum hornpunkta ferningsins með $A$, $B$, $C$ og $D$. Hugsum okkur að við höfum djúpan kassa með grunnflöt $20 \times 20$. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er lengd hornalínu grunnfaltar kassans $20\sqrt{2}$ sem er stærri tala en $21$ og því getum við stungið ferningnum niður í kassann þannig að hliðin $A B$ liggi á botni hans. Við ýtum nú hliðinni $A B$ út í eitt hornið á botninum þannig að hún myndi rétthyrndan jafnarma þríhyrning með einum hornpunkti grunnflatarins sem við köllum $R$. Látum $S$ vera hinn endapunkt þeirrar hliðar grunnflatarins sem $B$ liggur á. Þá er $21^2=2\cdot |R B|^2$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Því næst höllum við ferningnum þannig að punktarnir $C$ og $D$ hvíli á hliðum kassans gengt hliðunum sem $A$ og $B$ snerta. Látum $P$ vera fótpunkt ofanvarps punktsins $C$ á grunnflötinn. Nú er $B S P$ rétthyrndur jafnarma þríhyrningur, $|B S|=20-|R B|$ og regla Pýþagorasar gefur þá að $|B P|^2=2(20-x)^2$. Enn gefur regla Pýþagorasar, nú beitt á þríhyrninginn $B P C$, að $|C P|^2=|B C|^2-|B P|^2=21^2-2(20-|R B|)^2$. Við viljum sýna að $|C P|\lt 20$ því þá getum við ályktað að ferningurinn komist ofan í teningslaga kassa með brúnalengdir $20$. Höfum að: $$ \begin{aligned} \frac{|C P|^2}{20^2} &=\left(\frac{21}{20} \right)^2-2\left(1-\frac{|R B|}{20} \right)^2 =\left(\frac{21}{20} \right)^2-2\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{21}{20} \right)^2 \\ &=2\sqrt{2}\cdot \frac{21}{20}-2 =2\left(\sqrt{2}\cdot \frac{21}{20}-1 \right)\lt 1 \end{aligned} $$ því $\frac{21}{20}\sqrt{2}-1\lt \frac{1}{2}$ þá og því aðeins að $21\sqrt{2}-20\lt 10$ sem gildir þá og því aðeins að $21\sqrt{2}\lt 30$ sem er jafngilt því að $7\sqrt{2}\lt 10$ sem aftur jafngildir $49\cdot 2\lt 100$ sem er augljóslega rétt. Því er $|C P|\lt 20$ og við sjáum þá að ferningurinn kemst ofan í tening með brúnalengdir $20$.

Við byrjum á að merkja horn áttflötungsins eins og sýnt er á myndinni. Þar sem áttflötungurinn er reglulegur fellur hann í sjálfan sig ef við tökum einhverja hlið í hvaða aðra hlið sem er. Af því leiðir að $ABFD$, $B C D E$ og $A C F E$ eru ferningar með hliðarlengdir $x$, að hornalínurnar $A F$, $B D$ og $C E$ skerast allar í sama punkti $M$, sem er jafnframt miðpunktur ferninganna, og hornalínurnar liggja annaðhvort í ferningunum eða eru hornréttar á þá. Látum $N$ vera miðpunkt $A B$.

Við höfum nú að $M N C$ er rétthyrndur þríhyrningur, lengd $M N$ er $x/2$ og lengd $M C$ er helmingur lengdar hornalínunnar í ferningnum $B C D E$ með hliðarlengd $x$ svo $|M C|=\sqrt{2}x/2$. Regla Pýþagorasar gefur því að $$|N C|=\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}.$$ Hæðin á hliðina $N C$ í þríhyrningnum $M N C$ er $d/2$ og með því að reikna út flatarmál $M N C$ á tvo mismunandi vegu fáum við jöfnuna $$ \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}x}{2}=\frac{1}{2}\cdot |MN|\cdot|M C|=|M N C|=\frac{1}{2}\cdot|N C|\cdot h_M=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}x}{2}\cdot \frac{d}{2}$$ og því er $x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}d$.