1993-94 | stæ.is

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Myndin sýnir jafnhliða þríhyrning, sem er innritaður í ferning. Hvert er hlutfall flatarmáls jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins.

Lausn

Byrjum á að athuga að óskyggðu rétthyrndu þríhyrningarnir tveir á myndinni eru eins því þær hliðar sem eru sameiginlegar jafnhliða þríhyrningnum eru jafn langar og þær hliðar sem eru sameiginlegar ferningnum eru jafn langar. Því eru þriðju hliðar þeirra einnig jafn langar og því skyggða svæðið rétthyrndur jafnarma þríhyrningur. Látum $x$ vera lengd skammhliða hans og $y$ vera langhliðina, sem er jafnframt hliðarlengd jafnhliða þríhyrningsins. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á skyggða þríhyrninginn fáum við að $y^2=x^2+x^2=2x^2$ . Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á rétthyrnda þríhyrninginn sem við fáum þegar við drögum hæðina í jafnhliða þríhyrningnum fáum við að hæðin er jöfn

$\sqrt{y^2-\frac{1}{4}y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y.$ Hlutfallið milli flatarmála jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins er þá

$\frac{\frac{1}{2}y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}y}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{y^2}{x^2}=\sqrt{3}.$

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Hvaða tölustafur er lengst til hægri í tölunni $2^{1994}-1993$ ?

Lausn

Tökum eftir að síðasti tölustafur $2^k$ er sá sami og síðasti tölustafur $2^j$ þar sem $j$ er afgangurinn þegar 4 er deilt í $k$ . Nú fást $2$ í afgang þegar við deilum $4$ í $1994$ og því endar $2^{1994}$ á sama tölustaf og $2^2=4$ . Þá endar $2^{1994}-1993$ á $4-3=1$ .

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Sé fótstigi reiðhjóls snúið um einn hring þá færist reiðhjólið áfram um $6$ metra. Á fremra tannhjóli eru $40$ tennur og á því aftara $15$ tennur. Ef skipt er um tannhjól þannig að það fremra hafi $60$ tennur og það aftara $20$ , hversu langt fer þá reiðhjólið ef fótstiginu er snúið einn hring?

Lausn

Þegar fótstiginu er snúið einn hring, þá snýst fremra tannhjólið um $40$ tennur. Aftara tannhjólið snýst þá einnig um $40$ tennur sem eru $\frac{40}{15}=2\frac{10}{15}=2\frac{2}{3}$ hringir. Hjólið fer þá áfram um $\frac{6}{2\frac{2}{3}}=\frac{3\cdot 6}{8}=\frac{9}{4}$ metra þegar aftara tannhjólið snýst einn hring. Þegar skipt hefur verið um tannhjól, þá snýst það fremra 60 tennur þegar fótstiginu er snúið einn hring og því einnig það aftara. En 60 tennur jafngilda $\frac{60}{20}=3$ snúningum og hjólið fer þá áfram um $3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}=6\frac{3}{4}=\text{6,75}$ metra.

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Á myndinni eru $A$ , $B$ og $C$ snerti-punktar. Punkturinn $C$ er á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ og línurnar gegnum $C$ og $D$ eru samsíða. Hver er lengdin $x$ ?

Lausn

Látum $O$ vera miðpunkt hringsins. Þegar við framlengjum strikin $D A$ og $D B$ skera þau línuna gegnum $C$ í $P$ og $Q$ . Nú er $O$ á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ því $O$ er í sömu fjarlægð frá örmum þess. Punktarnir $D$ , $O$ og $C$ eru því allir á sömu línunni. Þar sem $C$ er snertipunktur línunnar gegnum $P$ og $Q$ við hringinn, þá er $O C$ hornrétt á $P Q$ og því $C D$ hæðin á $P Q$ sem hefur lengdina $x+4$ . Höfum nú að þríhyrningarnir $D C P$ og $D C Q$ eru einslaga og því þríhyrningurinn $P Q D$ jafnhliða. Þríhyrningarnir $O P Q$ , $O D P$ og $O D Q$ hafa allir flatarmálið

$\frac{1}{2}\cdot |P Q|\cdot |O C|=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{3}{2}=\frac{3y}{2}$ þar sem

$y$ er hálf hliðarlengd þríhyrningsins

$D P Q$ . Flatarmál

$D P Q$ sem er

$\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot (x+4)=(x+4)y$ er jafnt samanlögðu flatarmáli

$O P Q$ ,

$O D P$ og

$O D Q$ svo að

$3\frac{3y}{2}=(x+4)y$ og því

$x=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$ .

Dæmi 14. Efra stig 1993-94

Þrjú pör halda veislu. Þegar hver veislugestur kemur inn í veislusalinn heilsar hann (eða hún) öllum þeim, sem þegar eru komnir, nema maka sínum. Þegar allir eru komnir spyr einn úr hópnum alla hina hversu mörgum þau heilsuðu við komuna og fær $5$ mismunandi svör. Hve mörgum heilsaði fyrirspyrjandi þegar hann kom inn?

Lausn

Látum $a$ vera þann sem kom fyrst í veisluna og $a\prime$ vera maka hans. Látum $b$ vera þann sem kom annar ef það var ekki $a\prime$ . Annars látum við $b$ vera þriðja veislugestinn sem mætti og $b\prime$ vera maka hans. Látum $c$ vera þann sem kom fyrr af síðasta parinu og $c\prime$ vera maka hans. Þegar $a$ kom, þá heilsaði hann engum en $c\prime$ heilsaði öllum eða $4$ . Sá sem spyr fær $5$ ólík svör og því var einhver sem heilsaði $1, 2$ og $3$ .

Ef $a\prime$ kemur strax á eftir $a$ , þá heilsar hvorugt þeirra neinum, en allir sem á eftir koma heilsa bæði $a$ og $a\prime$ og því að minnsta kosti tveimur. Þá er enginn sem heilsar aðeins einum svo þetta gengur ekki. Því er $b$ sá sem kemur á eftir $a$ .

Ef $a\prime$ og $b\prime$ eru þeir sem koma næst, þá heilsar annar þeirra einum og hinn tveimur. Þá koma $c$ og $c\prime$ seinast og heilsa bæði fjórum. Þá er enginn sem heilsar þremur svo þetta stenst ekki. Þess vegna er $c$ þriðji eða fjórði í röðinni.

Ef $c$ er sá fjórði sem mætir, þá er $a\prime$ eða $b\prime$ sá þriðji. Sá þriðji heilsar þá $1$ og $c$ og allir sem á eftir honum koma heilsa $3$ . Þá er enginn sem heilsar $2$ sem stenst ekki. Því er $c$ sá þriðji sem mætir.

Sá fjórði heilsar þá öllum nema maka sínum og heilsar því $2$ . Sá fimmti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $3$ og sá síðasti heilsar öllum nema sínum maka og heilsar þá $4$ . Sjáum þá að fyrirspyrjandi heilsaði $2$ .

Dæmi 15. Neðra stig 1993-94

Hver er fjöldi sekúndna, sem þrítugur maður hefur lifað? (Setjið kross við töluna, sem er næst réttu svari.)

Lausn

Ef við reiknum með $360$ dögum í ári, þá er fjöldi sekúnda í $30$ árum jafn

$\begin{aligned} 30\cdot 360\cdot 24\cdot 60\cdot 60 &= 3\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 6\cdot 6\cdot 10^6\\ &= 1,08\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &\approx 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &= 8,64\cdot 10^8. \end{aligned}$

Skekkjan sem við fáum í ofangreindan útreikning með því að gera ráð fyrir að það séu 360 dagar í ári er allavega minni en

$30\cdot 6\cdot 24\cdot 60\cdot 60=2\cdot 6^5\cdot 10^3\lt 2\cdot 10^4\cdot 10^3=2\cdot 10^7,$ því

$6^5=2^5\cdot 3^5=32\cdot 9\cdot 9\cdot 3\lt 32\cdot300\lt 10000,$ og nálgunin sem við gerðum í útreikningunum er minni en

$0,1\cdot 8,64\cdot 10^8\lt 1\cdot 10^8$ . Skekkjan er því alls minni en

$1,2\cdot 10^8$ og svarið okkar því næst því að vera

$1$ milljarður.

Dæmi 16. Neðra stig 1993-94

Jafnhliða þríhyrningur er innritaður í hring með geisla $1$ . Hver er hæð þríhyrningsins?

Lausn

Látum $A$ , $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$ . Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins

$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$ , $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$ . Flatarmál þríhyrningsins $A B C$ , sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$ , $B C O$ og $A C O$ og því er

$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$ Við fáum þá að

$h=3(h-1)$ og því er

$h=\frac{3}{2}$ .

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að

$x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$ og

$1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2.$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er

$x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að

$0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h$ svo að

$h=\frac{3}{2}$ .

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að

$\frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$ og því

$h=\frac{3}{2}$ .

Dæmi 17. Neðra stig 1993-94

Finnið allar lausnir jöfnunnar

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\cdot9^{x-1} = \left(\frac{1}{9}\right)^{2x-1}.$

Lausn

Nú er $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\cdot9^{x-1}=3\cdot 3^{2(x-1)}=3^{2x-1}$ og einnig $\left(\frac{1}{9}\right)^{2x-1}=3^{-2(2x-1)}=3^{2-4x}$ svo að ef $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}9^{x-1}=\left(\frac{1}{9}\right)^{2x-1}$ , þá er $2x-1=2-4x$ og því $x=\frac{1}{2}$ .

Dæmi 18. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er þríhyrningurinn $ABC$ jafnarma með topphorn $\angle A$ , og hringurinn hefur miðju í $O$ . Hvert er flatarmál örvarinnar $A B O C$ ?

Lausn

Látum $D$ vera miðpunkt $B C$ . Þar sem miðpunktur umritaðs hrings þríhyrnings er skurðpunktur miðþverla hliðanna, þá er $O D$ hornrétt á $B C$ . Þar sem þríhyrningurinn $A B C$ er jafnarma með topphorn í $A$ , þá liggur $A$ á miðþverli $B C$ . En þá liggja punktarnir $A$ , $O$ og $D$ allir á sömu línunni sem er hæðin á $B C$ í þríhyrningnum $A B C$ . Höfum þá að flatarmál $A B O C$ er

$\begin{aligned} |A B O C|&=|A B C|-|O B C|=\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|AD|-\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|O D| \\ &=\frac{1}{2}r(r+h)-\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}r^2 \end{aligned}$ þar sem

$h=|O D|$ .

$q$	Stök $Q$
$1$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
$2$	$\frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\, \frac{5}{2},\, \frac{7}{2},\, \frac{9}{2}$
$3$	$\frac{1}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{4}{3},\, \frac{5}{3},\, \frac{7}{3},\, \frac{8}{3},\, \frac{10}{3}$
$5$	$\frac{1}{5},\, \frac{2}{5},\, \frac{3}{5},\, \frac{4}{5},\, \frac{6}{5},\, \frac{7}{5},\, \frac{8}{5},\, \frac{9}{5}$
$7$	$\frac{1}{7},\, \frac{2}{7},\, \frac{3}{7},\, \frac{4}{7},\, \frac{5}{7},\, \frac{6}{7},\, \frac{8}{7},\, \frac{9}{7},\, \frac{10}{7}$
$4$	$\frac{1}{4},\, \frac{3}{4},\, \frac{5}{4},\, \frac{7}{4},\, \frac{9}{4}$
$8$	$\frac{1}{8},\, \frac{3}{8},\, \frac{5}{8},\, \frac{7}{8},\, \frac{9}{8}$
$9$	$\frac{1}{9},\, \frac{2}{9},\, \frac{4}{9},\, \frac{5}{9},\, \frac{7}{9},\, \frac{8}{9},\, \frac{10}{9}$
$6$	$\frac{1}{6},\, \frac{5}{6},\, \frac{7}{6}$
$10$	$\frac{1}{10},\, \frac{3}{10},\, \frac{7}{10},\, \frac{9}{10}$

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 6. Efra stig 1993-94

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Dæmi 14. Efra stig 1993-94

Dæmi 15. Neðra stig 1993-94

Dæmi 16. Neðra stig 1993-94

Dæmi 17. Neðra stig 1993-94

Dæmi 18. Neðra stig 1993-94