Ef $a$, $b$ og $c$ eru rætur $x^3+ax^2+bx+c$, þá er \begin{align} x^3+a x^2+b x+c&=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &=x^3-(a+b+c)x^2+(a b+b c+c a)x-a b c \end{align} og því \[a=-a-b-c,\quad\quad b=a b+b c+c a,\quad\quad c=-a b c.\] Ef $c\neq 0$, þá gefur seinasta jafnan að $ab=-1$ og því er $a=1$ og $b=-1$ eða $a=-1$ og $b=1$. Í fyrra tilfellinu gefur fyrsta jafnan að $c=-2a-b=-1$ og þá er $a b+b c+c a=-1+1-1=-1=b$ svo annarri jöfnunni er líka fullnægt. Í seinna tilfellinu gefur fyrsta jafnan að $c=-2a-b=1$ en þá er $a b+b c+c a=-1-1+1=-1\neq b$ svo önnur jafnan gildir ekki.

Ef hinsvegar $c=0$, þá verða fyrstu tvær jöfnurnar að $2 a+b=0$ og $b=ab$. Ef $b\neq 0$, þá gefur seinni jafnan að $a=1$ og sú fyrri að $b=-2$. Ef hinsvegar $b=0$, þá gefur fyrri jafnan að $a=0$.

Höfum þá að $(a,b,c)=(0,0,0)$, $(a,b,c)=(1,-2,0)$ eða $(a,b,c)=(1,-1,-1)$.

Til einföldunar skulum við hugsa okkur að flísarnar séu ein lengdareining á kant og að byrjað sé á að setja hvíta flís í horn. Síðan hugsum við okkur að hliðarlengdir gólfflatarins séu $x=2m+a$ og $y=2n+b$, þar sem $m$ og $n$ eru heilar tölur, $0\lt a \leq 2$ og $0\lt b \leq2$.

Þegar við erum búin að flísaleggja rétthyrning með hliðarlengdir $2m$ og $2n$, þá höfum við lagt jafn margar hvítar og svartar flísar í hverja röð og flatarmál þeirra því jafnt. Við leggjum nú líka flísar á rétthyrninginn af breidd $b$ meðfram þeirri hlið svæðisins sem við höfum þegar lagt sem hefur lengdina $2m$. Við leggjum eina eða tvær raðir af flísum eftir því hvort $b \leq 1$ eða $b \gt 1$ og allar flísarnar í hvorri röð eru jafn stórar. Þar sem $2m$ er slétt tala, þá leggjum við jafn margar hvítar flísar og svartar í hvora röð og því samanlagt flatarmál hvítu flísanna jafnt samanlögðu flatarmáli þeirra svörtu.

Við förum eins að með rétthyrninginn af breidd $a$ meðfram hinni hlið svæðisins sem við byrjuðum á að leggja. Þá er aðeins eftir að leggja flísarnar í hornið sem á að líta út eins og einhver af myndunum fjórum hér til hliðar. Flatarmál hvítu og svörtu flísanna sem við höfum þegar lagt er jafnt svo flatarmál hvítu flísanna og þeirra svörtu í þessu horni þarf líka að vera jafnt. Við sýnum að svo getur ekki verið.

Greinilegt er að flatarmál svörtu og hvítu bútanna er ójafnt ef $0\lt a \leq 1$ eða $0\lt b \leq 1$. Ef $a \gt 1$ og $b \gt 1$ og við gefum okkur að flatarmál hvítu og svörtu skikanna sé jafnt, þá er $$ 1+(a-1)(b-1)=(a-1)+(b-1). $$ Þessi jafna jafngildir $$ 0=1-(a-1)-(b-1)+(a-1)(b-1)=(2-a)(2-b) $$ svo að annaðhvort er $a=2$ eða $b=2$. Höfum þá sýnt að önnur hliðarlengd gólfflatarins er heilt margfeldi af hliðarlengd flísanna og að fjöldi flísa meðfram þeirri hlið er jöfn tala.

Nú er $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ og þar sem gefið er að $2\beta=\alpha+\gamma$ þá fæst að $2\beta=180^\circ-\beta$ og því $\beta=60^\circ$. Þá er $\alpha+\gamma=120^\circ$ og því $$ \begin{aligned} \cos(\gamma)&=\cos(120^\circ-\alpha)=\cos(120^\circ) \cos(\alpha)+\sin(120^\circ) \sin(\alpha)\\&=-\frac{1}{2}\cos(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(\alpha),\\ \sin(\gamma)&=\sin(120^\circ-\alpha)=\sin(120^\circ) \cos(\alpha)-\cos(120^\circ) \sin(\alpha)\\ &=\frac{\sqrt3}{2}\cos(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha). \end{aligned} $$ Þá er $$ \begin{aligned} \frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)} &=\frac{\sin(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) +\frac{1}{2}\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(\alpha)}\\ &=\frac{3\sin(\alpha)+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)+1+\sqrt{3}\sin(\alpha)}\\ &=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}\sin(\alpha)+1+\cos(\alpha))}{\cos(\alpha)+1+\sqrt{3}\sin(\alpha)}\\ &=\sqrt{3} \end{aligned} $$

Táknum nöfn fimmburanna með upphafsstöfum þeirra. Við vitum að $A$ fæddist ekki fyrstur og að $B$ fæddist önnur á eftir $E$. Fyrst $G$ giskar á að $A$ fæddist ekki fyrstur, og $G$ veit hvar í röðinni hann sjálfur er, þá fæddist $G$ ekki heldur fyrstur.

Ef $G$ er annar í röðinni, þá samræmast báðar raðirnar $E,\, G,\, B,\, A,\, D$ og $E,\, G,\, B,\, D,\, A$ forsendunum hér að ofan. En gefið er að $G$ geti ákvarðað röðina ótvírætt út frá þessum forsendum svo að $G$ er ekki annar í röðinni.

Ef $G$ er þriðji, þá er nauðsynlega $E$ önnur og $B$ fjórða. Nú er $A$ ekki fyrstur svo hann er fimmti og þá nauðsynlega $D$ fyrstur. Röðin ákvarðast þá ótvírætt svo fimmburarnir fæddust í röðinni $D,\, E,\, G,\, B,\, A$.

Ef $G$ er fjórði, þá gætu fimmburarnir fæðst hvort heldur sem er í röðinni $E,\, A,\, B,\, G,\, D$ eða $E,\, D,\, B,\, G,\, A$ án þess að vera í mótsögn við forsendurnar hér að ofan. Það er í mótsögn við að $G$ geti ákvarðað röðina ótvírætt út frá þeim og því er $G$ ekki fjórði í röðinni.

Ef $G$ er fimmti, þá gætu fimmburarnir fæðst hvort heldur sem er í röðinni $E,\, A,\, B,\, D,\, G$ eða $E,\, D,\, B,\, A,\, G$ án þess að vera í mótsögn við forsendurnar hér að ofan. Það er enn í mótsögn við að $G$ geti ákvarðað röðina ótvírætt út frá þeim og því er $G$ ekki fimmti í röðinni.