N2 | stæ.is

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Fjarlægðin á milli tveggja nærliggjandi punkta á myndinni er $1$. Hvert er flatarmál skyggða svæðisins?

Lausn

Skiptum svæðinu upp eins og sýnt er á myndinni. Flatarmál minni svæðanna er þá eins og merkt er á myndinni og flatarmál stóra svæðisins því $4+2\cdot 3+5\cdot 1=15$.

Hér mætti einnig nota setningu Picks. Hún segir að flatarmál marghyrnings með hornpunkta sem hafa heiltöluhnit sé $I+R/2-1$ þar sem $I$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit innan í marghyrningnum og $R$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit á jaðri hans. Fáum þá að $9+14/2-1=9+7-1=15$.

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Á myndinni hér fyrir neðan má sjá ellefu ferningslaga spjöld sem hafa verið lögð á borð. Í hvaða röð voru fyrstu sjö spjöldin lögð á borðið?

Lausn

Lítum á spjald $F$. Undir því liggur spjald $E$, sem aftur liggur ofan á spjaldi $D$. Spjöld $C$ og $G$ liggja bæði undir $D$. Ef spjald $G$ lægi ofaná spjaldi $C$, þá myndi sjást í spjald $G$ milli spjalda $B$ og $D$. Svo er hinsvegar ekki og því liggur spjald $C$ ofan á spjaldi $G$. Þau spjöld sem við höfum þegar nefnt voru því lögð niður í röðinni $G$, $C$, $D$, $E$, $F$. Nú er spjald $A$ undir spjaldi $B$, spjald $I$ undir spjaldi $A$ og spjald $J$ undir spjaldi $I$. Spjöldin $H$, $K$ og $F$ eru öll undir spjaldi $J$. Nú sést í hornið á spjaldi $H$ milli spjalda $J$ og $B$ ofan á spjaldi $F$ og því liggur spjald $H$ ofan á spjaldi $F$ og ljóst er að spjald $K$ liggur ofan á spjaldi $H$. Sjáum þá að síðustu $7$ spjöldin voru lögð á borðið í röðinni $F$, $H$, $K$, $J$, $I$, $A$, $B$.

Dæmi 11. Neðra stig 1996-97

Heimski Hans, Mummi meinhorn, Sólveig og Venni vinur liggja öll undir grun um að hafa brotið rúðu í húsi Lalla löggu. Við yfirheyrslu þá kemur eftirfarandi fram:

Hans: „Mummi braut hana.“
Mummi: „Sólveig gerði það.“
Sólveig: „Mummi lýgur.“
Venni: „Ég gerði það ekki.“

Ef aðeins eitt þeirra segir satt og hin þrjú ljúga þá getum við ályktað:

Lausn

Ef Mummi segir satt, þá braut Sólveig rúðuna svo að Venni segir líka satt. Það er í mótsögn við forsendur því aðeins eitt þeirra segir satt. Þar með lýgur Mummi. Sólveig segir þá satt þar sem hún segir Mumma ljúga og því hlýtur Venni að ljúga því aðeins eitt þeirra segir satt. En Venni segir að hann hafi ekki brotið rúðuna, sem er lygi, svo það var Venni sem braut rúðuna.

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Fimm punktar á hring eru númeraðir $1$, $2$, $3$, $4$ og $5$ eins og sýnt er á myndinni. Fló hoppar á milli punktanna réttsælis þannig að ef hún er í punkti með oddatölunúmeri, þá hoppar hún í næsta punkt, en ef númer punktsins er slétt tala þá hoppar hún yfir einn punkt. Ef flóin byrjar í punkti $5$, í hvaða punkti verður hún þá eftir $1996$ hopp?

Lausn

Flóin hoppar frá $5$ yfir í $1$, þaðan yfir í $2$ og þaðan yfir í $4$ og svo aftur yfir í $1$. Einu punktarnir sem koma til greina eru $1$, $2$ og $4$. Eftir $1, 4, 7,\ldots$ hopp er hún í $1$, eftir $2, 5, 8,\ldots$ hopp er hún í $2$ og eftir $3, 6, 9,\ldots$ hopp er hún í $4$. Til að finna hvar hún er eftir $1996$ hopp, þá deilum við $3$ upp í $1996$ og athugum afganginn. Hann er $1$ svo að flóin hoppglaða er í punkti $1$.

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Innan í hring með geisla $2$ liggja tveir hringir með geisla $1$ þannig að þeir snertast í miðpunkti stóra hringsins. Til viðbótar er svo dreginn fjórði hringurinn eins og sýnt er á myndinni. Hver er geisli minnsta hringsins?

Lausn

Látum $r$ tákna geisla minnsta hringsins og látum $A, B$ og $C$ vera miðpunkta hringanna með geisla $r$, 1 og 2. Nú er þríhyrningurinn $A B C$ rétthyrndur svo að regla Pýþagorasar gefur að $$(1+r)^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2=1+(2-r)^2.$$ Þegar við einföldum þessa jöfnu fæst að $6r=4$ þannig að $r=\frac{2}{3}$.

Dæmi 11. Neðra stig 1995-96

Jörmunrekur og Gutti eru í leik þannig að fyrir framan þá er hrúga með $41$ eldspýtu, og fer leikurinn þannig fram að þeir skiptast á að taka eldspýtur úr hrúgunni. Í hvert skipti má taka $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$ eldspýtur. Sá tapar sem tekur síðustu eldspýtuna. Gutti hóf leikinn og tryggði sér strax sigur. Hvað tók Gutti margar eldspýtur í fyrsta sinn?

Lausn

Eftir að Gutti gerir í fyrsta skipti, þá getur hann alltaf hagað því þannig að $6$ eldspýtur fari í hverri umferð eftir það. Ef Jörmunrekur tekur $x$ eldspýtur, þar sem $x$ er ein talnanna $1$, $2$, $3$, $4$ eða $5$, þá tekur Gutti $6-x$ eldspýtur. Nú er $41=6\cdot 6+5$ svo þegar Jörmunrekur hefur gert $6$ sinnum og Gutti $7$ sinnum, þá eru eftir $5$ eldspýtur að frádregnum þeim eldspýtum sem Gutti tók í fyrsta leik. Ef hann hefur tekið $4$ eldspýtur í byrjun, þá er aðeins ein eldspýta eftir þegar hér er komið sögu og þá tapar Jörmunrekur.

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Faraóinn Jörmunrekur II var búinn að láta höggva $1000$ teningslaga steinblokkir, allar jafnstórar. Úr þessum blokkum átti að reisa píramíta með ferningslaga grunni. Fyrsti píramítinn sem var reistur var tveggja hæða, svo var reistur þriggja hæða og svo koll af kolli (sjá mynd). Þegar framkvæmdir höfðu staðið yfir um skeið uppgötvaði Jörmunrekur að hann ætti ekki eftir nógu margar blokkir til að klára næsta píramíta.

Lausn

Það þarf $1+2^2=5$ blokkir í fyrsta píramítann, $1+2^2+3^2=5+9=14$ blokkir í þann næsta, $1+2^2+3^2+4^2=14+16=30$ í þann þriðja og svo framvegis. Ef $a_n$ táknar fjölda blokka sem þarf í $n$—hæða píramíta, þá sjáum við að $a_n=a_{n-1}+n^2$ því við getum alltaf fengið hvern píramíta með því að skella $n^2$ blokkum undir þann næsta á undan. Reiknum nú nokkur fyrstu gildin á $a_n$. Höfum þegar séð að $a_2=5$, $a_3=14$ og $a_4=30$. Ef við höldum áfram fáum við $a_5=30+25=55$, $a_6=55+36=91$, $a_7=91+49=140$, $a_8=140+8^2=204$, $a_9=204+81=285$, $a_{10}=285+10^2=385$. Nú er $a_2+a_3+\cdot+a_9=824$ og $a_{10}=385\gt 176=1000-824$ svo Jörmunrekur á $176$ blokkir eftir þegar hann hefur lokið við 9 hæða píramítann en þarf $385$ til að klára þann $10$ hæða.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Í þríhyrningnum $A B C$ liggur punkturinn $D$ á hliðinni $c$, þannig að $\angle B C D=\angle A$. Gefið er $a=5$ og $|B D|=3$. Þá er lengd $c$ jöfn

Lausn

Nú er $\angle C D B=\angle C A B+\angle A C D=\angle B C D+\angle A C D=\angle ACB$ og augljóslega er $\angle CBD=\angle ABC$ svo þríhyrningarnir $A C B$ og $CDB$ eru einslaga. Þá er $$\frac{3}{5}=\frac{|B D|}{|B C|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{5}{|A B|}$$ svo að $|A B|=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}$.

Dæmi 14. Neðra stig 1995-96

Stærðtáknið $$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}},$$ er jafnt

Lausn

Lengjum fyrra brotið með $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ og það seinna með $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$ og fáum $$ \frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{(a+1)-a}-\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{(a+1)-a} =2\sqrt{a}.$$

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Á myndinni má sjá sex mismunandi aðferðir til að pakka saman sex gosdrykkjadósum. Utan um dósirnar er bundinn þráður sem teygist ekki. Í sumum tilvikum hefur þráðurinn utan um dósirnar sömu lengd. Í hve mörgum tilvikum fáum við minnstu mögulegu lengd?

Lausn

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Dæmi 11. Neðra stig 1996-97

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Dæmi 11. Neðra stig 1995-96

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Dæmi 13. Neðra stig 1995-96

Dæmi 14. Neðra stig 1995-96

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK