1995-96 | stæ.is

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Hver er $1995$. aukastafurinn þegar almenna brotið $\frac{1}{13}$ er skrifað sem tugabrot?

Lausn

Þá er $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}$. Nú er $1995=332\cdot 6+3$ svo að $1995$. aukastafur $\frac{1}{13}$ er sá sami og þriðji aukastafurinn eða $6$.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Lausn

Miðpunktar hringanna mynda jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd 2. Geisli stóra hringsins er þá 1 að viðbættri lengdinni frá einum hornpunkti þríhyrningsins að miðpunkti hans. Látum $O$ vera miðpunkt þríhyrningsins og $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta hans. Látum $D$ vera miðpunkt hliðarinnar $BC$. Nú er $D$ jafnframt fótpunktur hæðarinnar á $BC$ svo regla Pýþagroasar gefur að $|AD|=\sqrt{|AB|^2-|BD|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Þar sem miðlínur þríhyrnings skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$, þá er $|OA|=\frac23\sqrt{3}$ svo að geisli stóra hringsins er $1+\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$. Flatarmál stóra hringsins er þá $$ \pi \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{9} \right)\pi =\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3} \right)\pi.$$

Dæmi 22. Neðra stig 1995-96

Hver eru möguleg gildi á tölu $n\gt 9$ þannig að $n$ börn geti skipt $9$ eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru stykki í fleiri en tvo hluta.

Lausn

Við höfum $9$ stykki og ætlum að skipta þeim í $n\gt 9$ hluta. Þá verðum við augljóslega að skera öll stykkin í sundur, því sá sem fengi heilt stykki fengi þá meira en $9/n$ af öllum súkkulaðistykkjunum. En við megum ekki skera neitt stykki oftar en einu sinni svo hverju þeirra er skipt í nákvæmlega tvo hluta.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum skipt stykkjunum og höfum því $18$ hluta af stykkjum fyrir framan okkur sem við hugsum okkur að við höfum merkt $1_a, 1_b, 2_a, 2_b,\ldots,9_a, 9_b$ þannig að $1_a$ og $1_b$ fengust þegar stykki 1 var skipt í tvennt o.s.frv. Nú er einn hlutinn $9/n$ af lengd eins stykkis og við getum gert ráð fyrir því að það sé $1_a$. Ef lengd $1_b$ er einnig $9/n$, þá höfum við skipt hverju stykki í tvennt og því $n=18$. Annars er til hluti af stykki, segjum $2_a$, þannig að samanlögð lengd $1_b$ og $2_a$ sé $9/n$. Við höldum nú svona áfram þar til við komum að fyrstu tölunni $k$ þannig að lengd $k_b$ sé $9/n$, en þá hefur þessum $k$ stykkjum verið skipt milli $k+1$ barns. Þar sem skiptingin á næstu $k$ stykkjum hlýtur að vera samsvarandi sjáum við að $k$ gengur upp í $9$ og er því annaðhvort 3 eða 9 (við höfum þegar afgreitt tilfellið $k=1$). Þá hefur þessum fyrstu 3 (eða 9) stykkjum verið skipt milli 4 (eða 10) barna og því $n=3\cdot 4=12$ eða $n=10$.

Við höfum nú séð að nauðsynlega verður $n$ að vera ein af tölunum $10$, $12$ eða $18$. En ljóst er að hægt er að skipta stykkjunum $9$ milli $10$, $12$ eða $18$ barna án þess að skera nokkurt þeirra tvisvar. Ef $n=18$, þá skiptum við hverju stykki í tvennt. Ef $n=12$ þá skiptum við hverjum $3$ stykkjum í fjóra hluta með því að raða þeim í röð og skera lengjuna í fjóra jafn langa búta. Þá þarf að skera þrisvar svo hvert stykki er skorið nákvæmlega einu sinni. Eins ef $n=10$, þá röðum við öllum stykkjunum $9$ í röð og skiptum lengjunni í $10$ jafn langa búta, en þá þarf að skera $9$ sinnum og hvert stykki því nákvæmlega einu sinni.

Dæmi 7. Neðra stig 1995-96

Mamma og hjúkrunarkonan þurfa að vigta Gutta í fjögurra ára skoðuninni. Gutti vildi aldrei vera kyrr á vigtinni, gretti sig og bara hló. Að lokum gripu þær til þess ráðs að mamma sté á vigtina og hélt á Gutta, og hjúkrunarkonan las $78$ kg, síðan hélt hjúkrunarkonan á Gutta og mamma las $97$ kg og að endingu hélt mamma á hjúkrunarkonunni og Gutti las $141$ kg af vigtinni. Hvað er Gutti þungur?

Lausn

Táknum þyngd mömmu með $M$, þyngd hjúkrunarkonunnar með $H$ og þyngd Gutta með $G$. Þá er $M+G=78$, $H+G=97$ og $M+H=141$. Þegar við leggjum saman fyrstu tvær jöfnurnar fáum við að $2G+H+M=78+97=175$ og þar sem $M+H=141$ fæst að $2G=175-141=34$ og því $G=17$. Gutti er því 17 kg.

Dæmi 8. Neðra stig 1995-96

Sjöunda rót tölunnar $7^{(7^7)}$ er

Lausn

Höfum að $$\sqrt[7]{7^{\left(7^7\right)}} =\left(7^{\left(7^7\right)}\right)^{\frac{1}{7}} =7^{\left(7^7\cdot \frac{1}{7}\right)}=7^{\left(7^6\right)}.$$

Dæmi 9. Neðra stig 1995-96

Ef $3^x+2^y=985$ og $3^x-2^y=473$, þá er $x+y$ jafnt

Lausn

Þar sem $3^x+2^y=985$ og $3^x-2^y=473$, þá er $3^x=\frac{1}{2}(985+473)=729=3^6$ og $2^y=\frac{1}{2}(985-473)=256=2^8.$ Þá er $x=6$ og $y=8$ svo að $x+y=14$.

Dæmi 10. Neðra stig 1995-96

Tveir hornréttir miðstrengir eru dregnir í hring með geislann $2$ og síðan allir mögulegir strengir samsíða þeim í fjarlægðinni $1$, eins og sýnt er á myndinni. Samlögð lengd þessara sex strengja er

Lausn

Látum $x$ tákna hálfa lengd þeirra strengja sem liggja ekki í gegnum miðpunkt hringsins. Þríhyrningurinn á myndinni er rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $1^2+x^2=2^2$ svo að $x=\sqrt{3}$. Þá er lengd hvers af strengjunum sem eru ekki miðstrengir $2\sqrt{3}$ og lengd þeirra samtals $4\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$. Lengd miðstrengjanna er $2\cdot 4=8$ og því heildarlengd strengjanna sex $8+8\sqrt{3}=8(1+\sqrt{3})$.

Dæmi 1. Neðra stig 1995-96

Tvær ólíkar tölur eru valdar úr $-9$, $-7$, $-5$, $2$, $4$ og $6$. Ef þær eru margfaldaðar saman, þá er lægsta mögulega gildið á útkomunni

Lausn

Sumar talnanna eru neikvæðar og sumar jákvæðar. Nú fáum við minnstu töluna þegar við margföldum saman stærstu jákvæðu töluna og minnstu neikvæðu töluna. Lægsta mögulega útkoman er því $-9\cdot 6=-54$.