Hver eru möguleg gildi á tölu n > 9 þannig að n börn geti skipt
9 eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru
stykki í fleiri en tvo hluta.
Lausn
Við höfum 9 stykki og ætlum að skipta þeim í n > 9 hluta. Þá verðum við
augljóslega að skera öll stykkin í sundur, því sá sem fengi heilt stykki
fengi þá meira en 9 / n af öllum súkkulaðistykkjunum. En við megum ekki
skera neitt stykki oftar en einu sinni svo hverju þeirra er skipt í
nákvæmlega tvo hluta.
Gerum nú ráð fyrir að við höfum skipt stykkjunum
og höfum því 18 hluta af stykkjum fyrir framan okkur sem við hugsum
okkur að við höfum merkt 1 a , 1 b , 2 a , 2 b , … , 9 a , 9 b þannig að 1 a
og 1 b fengust þegar stykki 1 var skipt í tvennt o.s.frv.
Nú er einn hlutinn 9 / n af lengd eins stykkis og við getum gert ráð
fyrir því að það sé 1 a . Ef lengd 1 b er einnig 9 / n , þá höfum við
skipt hverju stykki í tvennt og því n = 18 . Annars er til hluti af
stykki, segjum 2 a , þannig að samanlögð lengd 1 b og 2 a sé 9 / n .
Við höldum nú svona áfram þar til við komum að fyrstu tölunni k þannig
að lengd k b sé 9 / n , en þá hefur þessum k stykkjum
verið skipt milli
k + 1 barns. Þar sem skiptingin á næstu k stykkjum hlýtur
að vera samsvarandi sjáum við að k gengur upp í 9 og er því
annaðhvort 3 eða 9 (við höfum þegar afgreitt tilfellið k = 1 ). Þá hefur
þessum fyrstu 3 (eða 9) stykkjum verið skipt milli 4 (eða 10) barna og því
n = 3 ⋅ 4 = 12 eða n = 10 .
Við höfum nú séð að nauðsynlega verður n að vera ein af tölunum 10 , 12
eða 18 . En ljóst er að hægt er að skipta stykkjunum 9 milli 10 , 12 eða
18 barna án þess að skera nokkurt þeirra tvisvar. Ef n = 18 , þá skiptum
við hverju stykki í tvennt. Ef n = 12 þá skiptum við hverjum 3 stykkjum
í fjóra hluta með því að raða þeim í röð og skera lengjuna í fjóra jafn
langa búta. Þá þarf að skera þrisvar svo hvert stykki er skorið
nákvæmlega einu sinni. Eins ef n = 10 , þá röðum við öllum stykkjunum 9 í
röð og skiptum lengjunni í 10 jafn langa búta, en þá þarf að skera 9
sinnum og hvert stykki því nákvæmlega einu sinni.