E3 | stæ.is

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Í hvert svæðanna A, B, C, D, E, F, G er í byrjun lögð króna þannig að þorskurinn snúi upp. Tvær aðgerðir eru leyfilegar: (1) snúa öllum krónunum innan einhvers hringsins við; (2) sjá til þess að þorskurinn snúi upp á öllum krónunum innan einhvers hrings.

Lausn

(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Hliðarnar í rétthyrndum þríhyrningi $A B C$ hafa lengdir $6, 8, 10$. Hringur með geisla 1 og miðju í $P$ rúllar innan í $A B C$ þannig að hann snertir alltaf eina hlið þríhyrningsins. Hversu langt hefur punkturinn $P$ farið þegar hringurinn er aftur kominn í upphaflega stöðu?

Lausn

Braut punktsins $P$ er þríhyrningur $A^\circ B^\circ C^\circ$ sem er einslaga $A B C$. Látum $D$ vera fótpunkt þverilsins á $A B$ gegnum $A^\circ$ og látum $E$ vera skurðpunkt línunnar gegnum $A^\circ$ og $D$ við strikið $A C$. Setjum $x=|A D|$ og $y=|A^\circ E|$. Látum $F$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ gegnum $A^\circ$. Athugum að þríhyrningarnir $A D E$ og $A^\circ F E$ eru einslaga $A B C$. Því er $$ \frac{x}{8}=\frac{|A D|}{|A B|}=\frac{|E D|}{|B C|}=\frac {1+y}6 \quad\quad \text{ og } \quad\quad \frac{1}{8}=\frac{|A^\circ F|}{|A B|}=\frac{|A^\circ E|}{|A C|}=\frac{y}{10}, $$ og þar með er $$ x=\frac{8}{6}\left(1+\frac{10}{8} \right)=3. $$ Nú sjáum við að $|A^\circ B^\circ|=8-3-1=4$ og þar með er hlutfallið milli samsvarandi hliða í þríhyrningunum $A^\circ B^\circ C^\circ$ og $A B C$ jafnt $\frac{1}{2}$. Ummál $A^\circ B^\circ C^\circ$ er þá hálft ummál $A B C$ eða $12$.

Dæmi 21. Neðra stig 1993-94

Inni í ferningi er minni ferningur þannig að hliðar þeirra eru samsíða. Dregin eru strik milli hornpunkta eins og myndin sýnir. Sýnið að samanlagt flatarmál $A$ og $C$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $B$ og $D$.

Lausn

Svæðin $A$, $B$, $C$ og $D$ eru trapisur. Táknum með $h_A$, $h_B$, $h_C$ og $h_D$ hæðir þeirra. Táknum hliðarlengd stærri ferningsins með $x$ og hliðarlengd þess minni með $y$. Regla um flatarmál trapisu segir að flatarmál $A$ er $F_A=\frac{1}{2}h_A(x+y)$ og sambærilegt fyrir flatarmál hinna svæðanna. Tökum eftir að $h_A+h_C=x-y$, þannig að $$ \begin{aligned} F_A+F_C&=\frac{1}{2}h_A(x+y)+\frac{1}{2}h_C(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(h_A+h_C)(x+y)\\ &=\frac{1}{2}(x-y)(x+y). \end{aligned} $$ Eins sést að $F_B+F_D=\frac{1}{2}(x-y)(x+y)$ og því er $F_A+F_C=F_B+F_D$.

Dæmi 22. Neðra stig 1993-94

Hversu margar náttúrlegar tölur hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð (eins og til dæmis talan $2458$)?

Lausn

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.

Dæmi 21. Neðra stig 1992-93

Um náttúrlegu tölurnar $a,b,c,d$ gildir að $a^5 = b^6$, $c^3=d^4$ og $d-a=61$. Finnið $a,b,c$ og $d$.

Lausn

Lausn: Af jöfnunni $a^5=b^6$ leiðir að til er náttúruleg tala $x$ þannig að $a=x^6$ og $b=x^5$. Til að sjá þetta þá frumþáttum við tölurnar $a$ og $b$ $$ a = p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{n}^{k_{n}}, \quad b = q_{1}^{j_{1}} \cdots q_{m}^{j_{m}} $$ þar sem $p_{1} \lt \cdots \lt p_{n}$ og $q_{1} \lt \cdots \lt q_{m}$. Nú er $a^5 = b^6$ og frumþáttunin er ótvíræð svo að $m=n$ og $p_{l}=q_{l}$, $5k_{l}=6j_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Nú hafa $5$ og $6$ engan sameiginlegan þátt og því gengur $5$ upp í $j_{l}$ og $6$ upp í $k_{l}$ fyrir öll $l \in \{1, \ldots, n\}$. Setjum $x=p_{1}^{k_{1}/6} \cdots p_{n}^{k_{n}/6}$. Þá er ljóst að $x^6=a$ og $x^5=b$.

Á sama hátt sést að til er náttúrleg tala $y$ þannig að $c=y^4$ og $d=y^3$. Af jöfnunni $d-a=61$ fæst þá að $y^3-x^6=61$. Nú er $$ 61 = y^3-x^6=(y-x^2)(y^2+yx^2+x^4). $$ Þar sem 61 er frumtala og $y^2+yx^2+x^4 \gt 1$ þá er $y-x^2=1$ og $y^2+yx^2+x^4=61$. Af fyrri jöfnunni fæst $y=x^2+1$ og seinni jafnan gefur þá að $$ 0 = (x^2+1)^2 + x^2(x^2+1) + x^4 - 61 = 3(x^2 - 4)(x^2 + 5). $$ Þá er $x^2=4$ og því er $x=2$ og $y=1+x^2=5$.

Við fáum nú að $a=x^6=2^6=64$, $b=x^5=2^5=32$, $c=y^4=5^4=625$ og $d=y^3=5^3=125$.

Dæmi 22. Neðra stig 1992-93

Á myndinni eru $A B$, $M N$ og $B C$ snertlar við hringinn sem hefur miðju í $O$. Gefið er að $\angle A B C=50^\circ$. Ákvarðið $\angle M O N$.

Lausn

Látum $P$ vera snerti-punkt striksins $MN $ við hringinn. Þá eru þríhyrningarnir $M O A$ og $M O P$ greinilega eins (þeir eru báðir rétthyrndir, hafa sameiginlega langhlið og skammhliðarnar $O A$ og $O P$ eru jafn langar). Sér í lagi eru hornin $\angle M O A$ og $\angle M O P$ jafn stór. Á sama hátt sést að hornin $\angle N O C$ og $\angle N O P$ eru jafn stór. Hornið $\angle M O N$ er því helmingur hornsins $\angle A O C$. Í ferhyrningnum $A B C O$ eru hornin við $A$ og $C$ rétt og hornið við $B$ er $50^\circ$ svo hornið við $O$ er $130^\circ$. Því er hornið $\angle M O N = 65^\circ$.

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Reiknið summu logra (með grunntölu $10$) allra þátta tölunnar $1.000.000$.

Lausn

Við minnumst þess að logri margfeldis tveggja talna er jafn summu logra talnanna. Summa logra talnanna sem ganga upp í 1.000.000 er því jöfn logranum af margfeldi allra slíkra talna. Athugum nú að $1.000.000=2^6\cdot5^6$. Fjöldi þátta er því $7^2=49$. Athugum nú að ef $d$ er þáttur tölu $n$, þá er $n/d$ það einnig. Þættirnir koma því í pörum $d$ og $n/d$ ef $n\neq n/d$ , og margfeldi þeirra er $d\cdot n/d=n$. Ef $d=n/d$, þá er $d^2=n$ svo að $d$ er þá stakur þáttur. (Af þessu má því álykta að fjöldi þátta tölu $n$ er oddatala ef og aðeins ef $n$ er ferningstala.) Talan $1.000.000$ hefur þá $24$ tvenndir af deilum með margfeldi $1.000.000$ og staka deilinn $1.000$. Margfeldi allra deila er því $$ 1.000.000^{24}\cdot 1.000=10^{6\cdot24+3}=10^{147} $$ og logrinn af þessu margfeldi er 147.

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Látum $k$ vera tiltekna heila tölu. Skilgreinum runu $a_n=2^n k+1$ fyrir $n=0,1,2,\ldots$.

(a) Sannið að ekki sé til frumtala $p$ sem gengur upp í alla liði rununnar.

(b) Sannið að ekki séu til frumtölur $p$ og $q$ þannig að sérhver liður í rununni sé deilanlegur annað hvort með $p$ eða með $q$.

Lausn

(a) Við sýnum að það er ekki einu sinni til frumtala $p$ sem gengu r upp í $a_0$ og $a_1$. Ef svo væri myndi hún einnig ganga upp í $2\cdot a_0-a_1=1$, sem er fráleitt.

(b) Gerum ráð fyrir að slíkar frumtölur séu til. Af ofansögðu er ljóst að ef önnur þeirra, segjum $p$, gengur upp í $a_0$ þá hlýtur $q$ að ganga upp í $a_1$. Nú er $2\cdot a_1-a_2=1$ svo að $q$ gengur ekki upp í $a_2$. Þá hlýtur $p$ að ganga upp í $a_2$ og þar með $4\cdot a_0-a_2=3$ svo að $p=3$. Þá er $q\ne3$ svo $q$ gengur heldur ekki upp í $a_3$ því $4\cdot a_1-a_3=3$. Frumtalan $p$ gengur því einnig upp í $a_3$ og þar með einnig upp í $2\cdot a_2-a_3=1$ sem er fráleitt. Slíkar frumtölur $p$ og $q$ eru því ekki til.

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Skilgreinum fall $f(x)=kx(1-x)$ þar sem $k\gt 0$ er fasti. Ákvarðið
skilyrði á töluna $k$ sem eru nægileg og nauðsynleg til þess, að til sé rauntala $c$ þannig að $f(f(c))=c$ en $f(c)\neq c$.

Lausn

Ef $x$ uppfyllir $f(x)=x$, þá er $kx(1-x)=x$ svo að $x(k-1-k x)=0$ og því $x=0$ eða $k-1-k x=0$.

Ef $x$ uppfyllir $f(f(x))=x$, en $f(x)\neq x$, þá er $$ k^2x(1-x)(1-k x(1-x))=x$$ þar sem $x\neq 0$ og $k-1-kx\neq 0$. Þar sem $x\neq 0$, þá er þessi jafna jafngild jöfnunni $$ \begin{aligned} 0&=1-k^2(1-x)(1-kx(1-x))\\ &=1-k^2+k^3x-k^3x^2+k^2x-k^3x^2+k^3x^3\\ &=x(1-x)^2k^3-(1-x)k^2+1\\ &=((1-x)k-1)(x(1-x)k^2-(1-x)k-1). \end{aligned} $$ (Þáttunin í síðasta skrefi umritunarinnar fæst með margliðudeilingu, en við vitum $k-1-kx$ er þáttur því allar lausnir $f(x)=x$ hljóta jafnframt að vera lausnir $f(f(x))=x$.) Þar sem $k-1-kx\neq 0$ þá fáum við $$ \begin{aligned}k^2x^2-k(k+1)x+(k+1)=0 \quad * \end{aligned} $$ Þessi síðasta jafna hefur lausn þá og því aðeins að aðgreinirinn $$ D=k^2(k+1)^2-4k^2(k+1)=k^2(k+1)((k+1)-4)=k^2(k+1)(k-3)$$ sé ekki neikvæður. Fyrir $D\gt 0$ eru tvær ólíkar lausnir. Önnur þeirra hlýtur þá að vera frábrugðin lausn $k-1-kx$ og þar sem $x=0$ er ekki lausn, þá fáum við að $f(f(x))=x$ hefur lausn sem er ekki lausn $f(x)=x$ ef $D\gt 0$, það er ef $k\gt 3$. Ef hinsvegar $D=0$, þá er $k=3$ og $x=\frac{k(k+1)}{2k^2}=\frac{k+1}{2k}=\frac{2}{3}$ eina lausn $*$. En $k=3$ og $x=\frac{2}{3}$ uppfylla jöfnuna $k-1-k x=0$ svo $x$ er þá líka lausn $f(x)=x$.

Við höfum þá séð að til er lausn á $f(f(x))=x$ sem er ekki lausn á $f(x)=x$ þá og því aðeins að $k\gt 3$.

Dæmi 22. Neðra stig 1991-92

Ákvarðið öll $a$ þannig að jafnan $ax^2-5x+1=0$ hafi tvær ólíkar rætur sem liggja báðar á bilinu $\{x:0\lt x\lt 1\}$.

Lausn

Margliðan $p(x)=ax^2-5x+1$ hefur tvær ólíkar rauntölurætur þá og því aðeins að aðgreinir hennar, $25-4a$, sé jákvæður, það er $a\lt \frac{25}{4}$. Ræturnar liggja hvor sínu megin við samhverfuás fleygbogans, sem hefur jöfnuna $x=-\frac{-5}{2 a}=\frac{5}{2a}$, og því verður samhverfuásinn að skera $x$-ásinn á bilinu $]0,1[$, það er $0\lt \frac{5}{2a}\lt 1$. En þá er $a$ jákvæð svo fleygboginn opnast upp. Þar sem $p(0)=1\gt 0$, þá er stærri rótin á bilinu $]0,1[$ þá og því aðeins að $a-4=p(1)\gt 0$, það er $a\gt 4$. Höfum þá séð að margliðan hefur tvær núllstöðvar á bilinu $]0,1[$ þá og því aðeins að um $a$ gildi að $4\lt a\lt \frac{25}{4}$.