Skip to Content

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1991-92

Í skóla nokkrum eru $1000$ nemendur. Í skólanum er kenndur fjöldi tungumála. Hver nemandi lærir í mesta lagi $5$ tungumál. Svo vill til, að í sérhverjum hópi þriggja nemenda er hægt að finna tvo sem læra sama tungumálið. Sýnið að hægt sé að finna að minnsta kosti $100$ nemendur sem læra allir sama tungumálið.

Dæmi 4. Neðra stig 1991-92

Ummál rétthyrningsins, sem er sýndur hér, er

Dæmi 21. Neðra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $135$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Dæmi 6. Neðra stig 1991-92

Ef talan $\displaystyle\frac{5(10^{12}-1)}{9}$ er skrifuð í tugakerfinu, hversu oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?

Dæmi 22. Neðra stig 1991-92

Ákvarðið öll $a$ þannig að jafnan $ax^2-5x+1=0$ hafi tvær ólíkar rætur sem liggja báðar á bilinu $\{x:0\lt x\lt 1\}$.

Dæmi 7. Neðra stig 1991-92

Minnsta jákvæða náttúrlega tala sem allar náttúrlegar tölur frá $1$ upp í $10$ ganga upp í er

Dæmi 23. Neðra stig 1991-92

Látum $ABC$ vera þríhyrning. Punkturinn $P$ liggur innan í $AB C$ þannig að $|PA|=4$, $|PB|=2$ og $|PC|=1$.

(a) Ef $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$, sannið að $\angle ACB=90^\circ$.

(b) Ef $\angle ACB=90^\circ$ og $\angle APB=\angle BPC$, sannið að $\angle CPA=120^\circ$.

Dæmi 8. Neðra stig 1991-92

Ef talan $p$ er valin úr menginu $\{ 1 , 3 , 5 \}$ og $q$ er valin úr menginu $\{ 2 , 4 , 6 , 8 \}$, þá er fjöldi möguleika á því að velja $p$ og $q$ þannig að $p+q\lt 11$ jafn

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er

Syndicate content