Skip to Content

Dæmi 18. Efra stig 1994-95

Látum $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vera fall sem er skilgreint fyrir allar rauntölur og sem uppfyllir fyrir allar rauntölur $x$ að $$f(x+19)\leq f(x)+19\quad\text{og}\quad f(x+94)\geq f(x)+94.$$
Sýnið að $f(x+1)=f(x)+1$ fyrir allar rauntölur $x$.

Dæmi 18. Efra stig 1993-94

Látum $\alpha,\beta,\gamma$ tákna stærð hornanna í þríhyrningi og gerum ráð fyrir að $\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\gamma)$. Reiknið $$ \frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)}. $$

Dæmi 19. Efra stig 1992-93

Látum $A$, $B$ og $C$ vera horn í þríhyrningi. Sýnið að $$ 1 \le \cos (A) + \cos (B) + \cos (C) \le \frac{3}{2}. $$

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er

Dæmi 18. Efra stig 1991-92

Skilgreinum fall $f(x)=kx(1-x)$ þar sem $k\gt 0$ er fasti. Ákvarðið
skilyrði á töluna $k$ sem eru nægileg og nauðsynleg til þess, að til sé rauntala $c$ þannig að $f(f(c))=c$ en $f(c)\neq c$.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1991-92

Finnið öll föll $f(x)$, þannig að $$ x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 $$ fyrir allar rauntölur $x$.

Syndicate content