Braut punktsins $P$ er þríhyrningur $A^\circ B^\circ C^\circ$ sem er einslaga $A B C$. Látum $D$ vera fótpunkt þverilsins á $A B$ gegnum $A^\circ$ og látum $E$ vera skurðpunkt línunnar gegnum $A^\circ$ og $D$ við strikið $A C$. Setjum $x=|A D|$ og $y=|A^\circ E|$. Látum $F$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ gegnum $A^\circ$. Athugum að þríhyrningarnir $A D E$ og $A^\circ F E$ eru einslaga $A B C$. Því er $$ \frac{x}{8}=\frac{|A D|}{|A B|}=\frac{|E D|}{|B C|}=\frac {1+y}6 \quad\quad \text{ og } \quad\quad \frac{1}{8}=\frac{|A^\circ F|}{|A B|}=\frac{|A^\circ E|}{|A C|}=\frac{y}{10}, $$ og þar með er $$ x=\frac{8}{6}\left(1+\frac{10}{8} \right)=3. $$ Nú sjáum við að $|A^\circ B^\circ|=8-3-1=4$ og þar með er hlutfallið milli samsvarandi hliða í þríhyrningunum $A^\circ B^\circ C^\circ$ og $A B C$ jafnt $\frac{1}{2}$. Ummál $A^\circ B^\circ C^\circ$ er þá hálft ummál $A B C$ eða $12$.

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.

Látum $P$ vera snerti-punkt striksins $MN $ við hringinn. Þá eru þríhyrningarnir $M O A$ og $M O P$ greinilega eins (þeir eru báðir rétthyrndir, hafa sameiginlega langhlið og skammhliðarnar $O A$ og $O P$ eru jafn langar). Sér í lagi eru hornin $\angle M O A$ og $\angle M O P$ jafn stór. Á sama hátt sést að hornin $\angle N O C$ og $\angle N O P$ eru jafn stór. Hornið $\angle M O N$ er því helmingur hornsins $\angle A O C$. Í ferhyrningnum $A B C O$ eru hornin við $A$ og $C$ rétt og hornið við $B$ er $50^\circ$ svo hornið við $O$ er $130^\circ$. Því er hornið $\angle M O N = 65^\circ$.

Ef $x$ uppfyllir $f(x)=x$, þá er $kx(1-x)=x$ svo að $x(k-1-k x)=0$ og því $x=0$ eða $k-1-k x=0$.

Ef $x$ uppfyllir $f(f(x))=x$, en $f(x)\neq x$, þá er $$ k^2x(1-x)(1-k x(1-x))=x$$ þar sem $x\neq 0$ og $k-1-kx\neq 0$. Þar sem $x\neq 0$, þá er þessi jafna jafngild jöfnunni $$ \begin{aligned} 0&=1-k^2(1-x)(1-kx(1-x))\\ &=1-k^2+k^3x-k^3x^2+k^2x-k^3x^2+k^3x^3\\ &=x(1-x)^2k^3-(1-x)k^2+1\\ &=((1-x)k-1)(x(1-x)k^2-(1-x)k-1). \end{aligned} $$ (Þáttunin í síðasta skrefi umritunarinnar fæst með margliðudeilingu, en við vitum $k-1-kx$ er þáttur því allar lausnir $f(x)=x$ hljóta jafnframt að vera lausnir $f(f(x))=x$.) Þar sem $k-1-kx\neq 0$ þá fáum við $$ \begin{aligned}k^2x^2-k(k+1)x+(k+1)=0 \quad * \end{aligned} $$ Þessi síðasta jafna hefur lausn þá og því aðeins að aðgreinirinn $$ D=k^2(k+1)^2-4k^2(k+1)=k^2(k+1)((k+1)-4)=k^2(k+1)(k-3)$$ sé ekki neikvæður. Fyrir $D\gt 0$ eru tvær ólíkar lausnir. Önnur þeirra hlýtur þá að vera frábrugðin lausn $k-1-kx$ og þar sem $x=0$ er ekki lausn, þá fáum við að $f(f(x))=x$ hefur lausn sem er ekki lausn $f(x)=x$ ef $D\gt 0$, það er ef $k\gt 3$. Ef hinsvegar $D=0$, þá er $k=3$ og $x=\frac{k(k+1)}{2k^2}=\frac{k+1}{2k}=\frac{2}{3}$ eina lausn $*$. En $k=3$ og $x=\frac{2}{3}$ uppfylla jöfnuna $k-1-k x=0$ svo $x$ er þá líka lausn $f(x)=x$.

Við höfum þá séð að til er lausn á $f(f(x))=x$ sem er ekki lausn á $f(x)=x$ þá og því aðeins að $k\gt 3$.