Svar: Rúmmál: $\frac{\sqrt2}{6}\pi a^3$. Yfirborðsflatarmál: $\sqrt2\pi a^2$.

Lengd hornalínunnar í ferningnum er $a\sqrt{2}$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Þegar við snúum ferningi svona um aðra hornalínuna, þá fáum við sama svæði og þegar við límum saman grunnfleti tveggja keila af hæð $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ og með grunnflöt með þvermál $\sqrt{2}\, a$. En rúmmál slíkrar keilu er þriðjungur af margfeldi flatarmáls grunnflatar hennar og hæðar eða $$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^3.$$ Rúmmál hlutarins er því $$ \frac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3.$$

Snúum okkur þá að því að reikna yfirborðsflatarmál keilanna. Klippum þær eftir endilöngu og fletjum þær út. Fáum þá hringgeira með geisla $a$ sem hefur boga af lengd sem er jöfn ummáli grunnflatar keilunnar eða $\sqrt{2} a\pi$. Horn hringgeirans í bogamálseiningum er þá $\sqrt{2} \pi$ svo að flatarmál hans er $\frac{\sqrt {2}\pi}{2\pi}\pi a^2$ þar sem $\pi a^2$ er flatarmál hrings með geisla $a$. Yfirborðsflatarmál hlutarins er þá $\sqrt{2} \pi a^2$.

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$