1995-96 | stæ.is

Dæmi 11. Efra stig 1995-96

Tölurnar $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$, eru skrifaðar í röð í bók þannig að á hverri síðu er 100 tölur. Byrjað er að skrifa efst á síðu $7$. Á hvaða síðu lendir talan $11.111$?

Lausn

Látum $a_n$ vera $n$—tu töluna sem við skrifum. Þá er $a_n=3(n-1)+2$. Nú er $11.111=111\cdot 100+11$ svo talan 11.111 er 11 talan sem við skrifum á 112. síðuna sem við skrifum á. En nú byrjuðum við ekki að skrifa fyrr en á blaðsíðu 7 í bókinni svo 112. síðan sem við skrifum á er síða númer $112+6=118$ í bókinni.

E2 |
1995-96

Dæmi 12. Efra stig 1995-96

Finnið allar rauntölulausnir jöfnunnar $$x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0.$$

Lausn

Byrjum á að umrita stæðuna á vinstri hlið jöfnunnar $$ \begin{aligned} x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8 &=(x^2-5x+4)+\left(\frac{1}{x^2}-5\frac{1}{x}+4\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\left(\frac{1}{x}-4\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)\\ &=(x-4)(x-1)+\frac{1-4x}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\\ &=\left((x-4)-\frac{1-4x}{x^2}\right)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^3-4x^2+4x-1)(x-1)\\ &=\frac{1}{x^2}(x^2-3x+1)(x-1)^2 \end{aligned} $$ Sjáum þá að lausnir jöfnunnar eru $x=1$ og rætur margliðunnar $x^2-3x+1$, en þær eru $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.

E2 |
1995-96

Dæmi 15. Efra stig 1995-96

Hvert er yfirborðsflatarmál og rúmmál hlutar sem fæst með því að snúa ferningi með hliðarlengd $a$ um hornalínu?

Lausn

Svar: Rúmmál: $\frac{\sqrt2}{6}\pi a^3$. Yfirborðsflatarmál: $\sqrt2\pi a^2$.

Lengd hornalínunnar í ferningnum er $a\sqrt{2}$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Þegar við snúum ferningi svona um aðra hornalínuna, þá fáum við sama svæði og þegar við límum saman grunnfleti tveggja keila af hæð $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ og með grunnflöt með þvermál $\sqrt{2}\, a$. En rúmmál slíkrar keilu er þriðjungur af margfeldi flatarmáls grunnflatar hennar og hæðar eða $$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^3.$$ Rúmmál hlutarins er því $$ \frac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3.$$

Snúum okkur þá að því að reikna yfirborðsflatarmál keilanna. Klippum þær eftir endilöngu og fletjum þær út. Fáum þá hringgeira með geisla $a$ sem hefur boga af lengd sem er jöfn ummáli grunnflatar keilunnar eða $\sqrt{2} a\pi$. Horn hringgeirans í bogamálseiningum er þá $\sqrt{2} \pi$ svo að flatarmál hans er $\frac{\sqrt {2}\pi}{2\pi}\pi a^2$ þar sem $\pi a^2$ er flatarmál hrings með geisla $a$. Yfirborðsflatarmál hlutarins er þá $\sqrt{2} \pi a^2$.

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Á myndinni má sjá sex mismunandi aðferðir til að pakka saman sex gosdrykkjadósum. Utan um dósirnar er bundinn þráður sem teygist ekki. Í sumum tilvikum hefur þráðurinn utan um dósirnar sömu lengd. Í hve mörgum tilvikum fáum við minnstu mögulegu lengd?

Lausn

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Dæmi 16. Neðra stig 1995-96

Ef við skrifum heilu tölurnar frá $1$ upp að $999$ (báðar meðtaldar) niður á blað, hvað höfum við þá skrifað tölustafinn $0$ oft?

Lausn

Byrjum á að skrifa tölurnar frá $0$ og upp í $999$ niður á blað. Ef talan hefur færri en $3$ tölustafi, þá skrifum við $0$ fyrir framan hana. Þannig skrifum við $007$ fyrir $7$ og $075$ í stað 75. Við höfum þá skrifað $1000$ tölur, þrjá tölustafi í hverri tölu og augljóslega höfum við skrifað hvern tölustafanna $10$ jafn oft. Við höfum því skrifað $3\cdot 1000/10=300$ núll. Núna strokum við út öll núll í upphafi talna þannig að í stað $027$ standi 27 o.s.frv. Þá standa eftir tölurnar frá $1$ og upp í $999$. Við höfum þá strokað $0$ úr hundruðasæti í tölunum $000$ til $099$, samtals $100$ stykki. Einnig strokuðum við út $10$ núll í tugasætunum í tölunum $00$ til $09$, samtals $10$ stykki. Að lokum strokuðum við einnig út töluna $0$. Þá höfum við strokað út $111$ núll og eftir eru $300-111=189$ núll.

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Hver er $1995$. aukastafurinn þegar almenna brotið $\frac{1}{13}$ er skrifað sem tugabrot?

Lausn

Þá er $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}$. Nú er $1995=332\cdot 6+3$ svo að $1995$. aukastafur $\frac{1}{13}$ er sá sami og þriðji aukastafurinn eða $6$.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Þrír hringir með geislann $1$ og einn stór hringur eru lagðir eins og myndin sýnir. Ákvarðið flatarmál stóra hringsins. (Svarið á að vera á forminu $(\frac{a+b\sqrt{3}}{c})\pi$ þar sem $a, b$ og $c$ eru heilar tölur).

Lausn

Miðpunktar hringanna mynda jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd 2. Geisli stóra hringsins er þá 1 að viðbættri lengdinni frá einum hornpunkti þríhyrningsins að miðpunkti hans. Látum $O$ vera miðpunkt þríhyrningsins og $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta hans. Látum $D$ vera miðpunkt hliðarinnar $BC$. Nú er $D$ jafnframt fótpunktur hæðarinnar á $BC$ svo regla Pýþagroasar gefur að $|AD|=\sqrt{|AB|^2-|BD|^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Þar sem miðlínur þríhyrnings skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$, þá er $|OA|=\frac23\sqrt{3}$ svo að geisli stóra hringsins er $1+\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$. Flatarmál stóra hringsins er þá $$ \pi \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\left(\frac{21+12\sqrt{3}}{9} \right)\pi =\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3} \right)\pi.$$

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 11. Efra stig 1995-96

Dæmi 12. Efra stig 1995-96

Dæmi 15. Efra stig 1995-96

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Dæmi 16. Neðra stig 1995-96

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Dæmi 21. Neðra stig 1995-96

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK