Skip to Content

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1993-94

Gefið er strik $A B$, hringur með miðju $A$ sem liggur gegnum $B$ og annar hringur með miðju $B$ sem liggur gegnum $A$. Ferningurinn $C D E F$ hefur tvo hornpunkta sína á strikinu $AB$ og hina tvo hvorn á sínum hringnum, eins og myndin sýnir. Reiknið hliðarlengd hans ef lengd $|A B|=1$.







Dæmi 4. Úrslitakeppni 1993-94

Finnið allar margliður $x^3+a x^2+b x+c$ þannig að $a$, $b$ og $c$ séu heilar tölur og þær séu jafnframt rætur margliðunnar.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1993-94

Á hversu marga vegu er unnt að raða tölunum $1,2,\ldots,n$ í sæti þannig að eftirfarandi gildi fyrir sérhvert $i = 2,\ldots,n$: Talan í $i$-ta sæti er annaðhvort minni en allar tölurnar á undan eða stærri en allar tölurnar á undan.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1993-94

Reynir er að flísaleggja rétthyrningslaga gólfflöt. Til þess notar hann hvítar og svartar ferningslaga flísar sem hann leggur í munstur eins og á skákborði. Hann byrjar á að setja heila flís í eitt hornið og heldur áfram út frá því horni. Þegar hann hefur lokið við flísalagninguna þá tekur hann eftir því að samanlagt flatarmál hvítu flísanna á gólfinu er jafnt samanlögðu flatarmáli svörtu flísanna. Sýnið að önnur hliðarlengd gólfflatarins er heilt margfeldi af hliðarlengd flísanna og að fjöldi flísa meðfram þessari hlið er jöfn tala.

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1992-93

Myndin sýnir tvo hringa í planinu og þrjá sameiginlega snertla þeirra. Punktarnir $G$ og $H$ eru skurðpunktar, en punktarnir $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ og $F$ eru snertipunktar. Sýnið að strikin $GE$ og $FH$ eru jafnlöng.







Dæmi 2. Úrslitakeppni 1992-93

Gefnar eru sex fullyrðingar:

($\textbf{a}$) Allar fullyrðingarnar hér að neðan eru sannar.
($\textbf{b}$) Engin fullyrðinganna hér að neðan er sönn.
($\textbf{c}$) Allar fullyrðingarnar hér að ofan eru sannar.
($\textbf{d}$) Ein fullyrðinganna hér að ofan er sönn.
($\textbf{e}$) Engin fullyrðinganna hér að ofan er sönn.
($\textbf{f}$) Engin fullyrðinganna hér að ofan er sönn.

Hverjar fullyrðinganna eru sannar?

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1992-93

Sýnið að $2^n$ gengur upp í $$(n+1)(n+2) \cdots (2 n)$$ fyrir allar náttúrulegar tölur $n$.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1992-93

Tiltekið leyndarmál felst í $n$ ólíkum staðreyndum. Í hópi $n$ manna veit hver sinn hluta af leyndarmálinu. Mennirnir skrifast á og í hverju bréfi upplýsir sendandi allt sem hann veit þá um leyndarmálið. Hver er minnsti fjöldi bréfa sem senda þarf þar til allir í hópnum þekkja alla hluta leyndarmálsins?

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1992-93

Gefnar eru rauntölur $x,y,z \gt 0$ þannig að $x+y+z = 1$. Sýnið að $$ \left(1 + {1 \over x}\right)\left(1 + {1 \over y}\right) \left(1 + {1 \over z}\right)\;\ge\;64. $$

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1992-93

Fjarlægð milli mótlægra hliða í reglulegum áttflötungi er $d$. Hver er lengd kantanna? (Reglulegur áttflötungur hefur sex horn, átta hliðar og tólf kanta. Hliðarnar eru jafnstórir jafnhliða þríhyrningar. Myndirnar sýna reglulegan áttflötung, á annarri myndinni er hann gegnsær en á hinni ekki.)

Syndicate content