Skip to Content

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $p$ og $q$ vera jákvæðar rauntölur. Sýnið að $$(p^2+p+1)(q^2+q+1)\geq 9p q.$$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1996-97

Þrjú strandríki vilja skipta með sér þríhyrningslaga hafsvæði $A B C$. Ríkin þrjú eiga hvert sitt skerið í hornpunktum þríhyrningsins. Eftir langar og erfiðar samningaviðræður verður eftirfarandi regla til: Þegar ákvarða á hvaða ríki fær yfirráðarétt yfir punkti $P$ innan í $A B C$, þá er mæld fjarlægðin frá $P$ yfir í skerin þrjú (hornpunktana) og punkturinn tilheyrir svo því ríki sem á skerið sem er næst honum. Finnið skilyrði á lögun þríhyrningsins $A B C$ (skilyrði á hornin eða hlutföll hliða) sem þarf að vera uppfyllt til þess að einhver tvö ríkjanna eigi ekki samliggjandi hafsvæði.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1996-97

Látum $x$ vera rauntölu. Sannið að um einhverja af tölunum $x,2x,\ldots, 99x$ gildir að munurinn á henni og einhverri heilli tölu er minni en $\frac{1}{100}$.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1996-97

Sannið að ef teknar eru einhverjar $18$ þriggja stafa tölur í röð, þá er að minnsta kosti ein þeirra deilanleg með þversummu sinni.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1996-97

Í þríhyrningi $A B C$ gildir að $b\geq a$. Táknum með $M$ miðpunkt hliðarinnar $c$ og með $H$ fótpunkt hæðarinnar frá $C$. Sýnið að $$|M H|=\frac{b^2-a^2}{2 c}.$$

Dæmi 18. Efra stig 1996-97

Er til náttúrleg tala $n$ þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki $0$, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan $2 n$?

Dæmi 19. Efra stig 1996-97

Gefið er að $x, y, z$ eru jákvæðar tölur og að $xyz=1$. Einnig er vitað að $x+y+z\gt \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Sannið að ein af þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1996-97

Á fundi í Karphúsinu sátu $29$ menn saman í kringum hringborð. Allir þessir menn voru með þeim ósköpum fæddir að annaðhvort sögðu þeir aldrei satt orð eða hvert einasta orð sem þeir sögðu var satt. Og þar sem þeir sitja þarna í kringum borðið segja þeir allir í kór „Næst mér á báðar hendur sitja lygarar“. Sýnið að í það minnsta $10$ af mönnunum segja alltaf satt. Er mögulegt að nákvæmlega $10$ af þeim séu sannsöglir?

Dæmi 13. Efra stig 1996-97

Reglulegur áttflötungur situr innan í teningi eins og sýnt er á myndinni, þannig að hornpunktar áttflötungsins eru jafnframt miðpunktar hliða teningsins. Hvert er hlutfallið á milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og yfirborðsflatarmáls teningsins?





Dæmi 14. Efra stig 1996-97

Fimm tölustafa tala er búin til með því að nota hvern af tölustöfunum $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ einu sinni. Tölustafirnir sem eru í tuga- og þúsundasætunum eru hvor um sig stærri en tölustafirnir til hliðar við þá. Hvað eru margar slíkar fimm tölustafa tölur til?

Syndicate content