Processing math: 100%
Skip to Content

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1996-97

Sannið að ef teknar eru einhverjar 18 þriggja stafa tölur í röð, þá er að minnsta kosti ein þeirra deilanleg með þversummu sinni.

Dæmi 6. Úrslitakeppni 1996-97

Í þríhyrningi ABC gildir að ba. Táknum með M miðpunkt hliðarinnar c og með H fótpunkt hæðarinnar frá C. Sýnið að |MH|=b2a22c.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1996-97

Látum p og q vera jákvæðar rauntölur. Sýnið að (p2+p+1)(q2+q+1)9pq.

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1996-97

Þrjú strandríki vilja skipta með sér þríhyrningslaga hafsvæði ABC. Ríkin þrjú eiga hvert sitt skerið í hornpunktum þríhyrningsins. Eftir langar og erfiðar samningaviðræður verður eftirfarandi regla til: Þegar ákvarða á hvaða ríki fær yfirráðarétt yfir punkti P innan í ABC, þá er mæld fjarlægðin frá P yfir í skerin þrjú (hornpunktana) og punkturinn tilheyrir svo því ríki sem á skerið sem er næst honum. Finnið skilyrði á lögun þríhyrningsins ABC (skilyrði á hornin eða hlutföll hliða) sem þarf að vera uppfyllt til þess að einhver tvö ríkjanna eigi ekki samliggjandi hafsvæði.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1996-97

Látum x vera rauntölu. Sannið að um einhverja af tölunum x,2x,,99x gildir að munurinn á henni og einhverri heilli tölu er minni en 1100.

Dæmi 13. Efra stig 1996-97

Reglulegur áttflötungur situr innan í teningi eins og sýnt er á myndinni, þannig að hornpunktar áttflötungsins eru jafnframt miðpunktar hliða teningsins. Hvert er hlutfallið á milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og yfirborðsflatarmáls teningsins?





Dæmi 14. Efra stig 1996-97

Fimm tölustafa tala er búin til með því að nota hvern af tölustöfunum 1, 3, 5, 7, 9 einu sinni. Tölustafirnir sem eru í tuga- og þúsundasætunum eru hvor um sig stærri en tölustafirnir til hliðar við þá. Hvað eru margar slíkar fimm tölustafa tölur til?

Dæmi 15. Efra stig 1996-97

Maur er á ferð innan í hring. Hann byrjar í punkti A1 á jaðrinum og heldur til punkts A2 sem er líka á jaðrinum. Punkturinn A2 er þannig að strengurinn A1A2 myndar 35 horn við snertil við hringinn í punktinum A1. Síðan heldur hann í átt að punkti A3, en hornið á milli A2A3 og snertils í A2 er nú 37 (sjá mynd). Svona heldur þetta áfram nema hvað að hornið á milli AkAk+1 og snertils við hringinn í Ak er nú (33+2k).

Dæmi 18. Efra stig 1996-97

Er til náttúrleg tala n þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki 0, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan 2n?

Dæmi 19. Efra stig 1996-97

Gefið er að x,y,z eru jákvæðar tölur og að xyz=1. Einnig er vitað að x+y+z>1x+1y+1z. Sannið að ein af þessu tölum er stærri en 1 og að hinar tvær eru minni en 1.

Syndicate content