E1 | stæ.is

Dæmi 11. Neðra stig 1996-97

Heimski Hans, Mummi meinhorn, Sólveig og Venni vinur liggja öll undir grun um að hafa brotið rúðu í húsi Lalla löggu. Við yfirheyrslu þá kemur eftirfarandi fram:

Hans: „Mummi braut hana.“
Mummi: „Sólveig gerði það.“
Sólveig: „Mummi lýgur.“
Venni: „Ég gerði það ekki.“

Ef aðeins eitt þeirra segir satt og hin þrjú ljúga þá getum við ályktað:

Lausn

Ef Mummi segir satt, þá braut Sólveig rúðuna svo að Venni segir líka satt. Það er í mótsögn við forsendur því aðeins eitt þeirra segir satt. Þar með lýgur Mummi. Sólveig segir þá satt þar sem hún segir Mumma ljúga og því hlýtur Venni að ljúga því aðeins eitt þeirra segir satt. En Venni segir að hann hafi ekki brotið rúðuna, sem er lygi, svo það var Venni sem braut rúðuna.

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Fimm punktar á hring eru númeraðir $1$, $2$, $3$, $4$ og $5$ eins og sýnt er á myndinni. Fló hoppar á milli punktanna réttsælis þannig að ef hún er í punkti með oddatölunúmeri, þá hoppar hún í næsta punkt, en ef númer punktsins er slétt tala þá hoppar hún yfir einn punkt. Ef flóin byrjar í punkti $5$, í hvaða punkti verður hún þá eftir $1996$ hopp?

Lausn

Flóin hoppar frá $5$ yfir í $1$, þaðan yfir í $2$ og þaðan yfir í $4$ og svo aftur yfir í $1$. Einu punktarnir sem koma til greina eru $1$, $2$ og $4$. Eftir $1, 4, 7,\ldots$ hopp er hún í $1$, eftir $2, 5, 8,\ldots$ hopp er hún í $2$ og eftir $3, 6, 9,\ldots$ hopp er hún í $4$. Til að finna hvar hún er eftir $1996$ hopp, þá deilum við $3$ upp í $1996$ og athugum afganginn. Hann er $1$ svo að flóin hoppglaða er í punkti $1$.

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Fjarlægðin á milli tveggja nærliggjandi punkta á myndinni er $1$. Hvert er flatarmál skyggða svæðisins?

Lausn

Skiptum svæðinu upp eins og sýnt er á myndinni. Flatarmál minni svæðanna er þá eins og merkt er á myndinni og flatarmál stóra svæðisins því $4+2\cdot 3+5\cdot 1=15$.

Hér mætti einnig nota setningu Picks. Hún segir að flatarmál marghyrnings með hornpunkta sem hafa heiltöluhnit sé $I+R/2-1$ þar sem $I$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit innan í marghyrningnum og $R$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit á jaðri hans. Fáum þá að $9+14/2-1=9+7-1=15$.

Dæmi 4. Neðra stig 1996-97

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $b$ jafnt

Lausn

Ef $m=\frac{a b c}{a-b}$, þá er $(a-b)m=a b c$ svo að $m a=m b+a b c=b(m+a c)$ og því er $b=\frac{m a}{m+a c}$.

Dæmi 7. Neðra stig 1996-97

Í þríhyrningnum $A B C$ er hornið $\angle C$ rétt, $|A C|=6$ og $|B C|=8$. Punktur $D$ liggur á hliðinni $A B$ og punktur $E$ á hliðinni $B C$, þannig að $\angle B E D=90^\circ$. Ef $|D E|=4$, þá er lengd striksins $B D$ jöfn

Lausn

Regla Pýþagorasar gefur að $$|A B|=\sqrt{|A C|^2+|B C|^2}=\sqrt{36+64}=10.$$ Nú eru þríhyrningarnir $A B C$ og $D B E$ einslaga þar sem $\angle D B E=\angle A B C$ og hornin $\angle B E D$, $\angle B C A$ eru bæði rétt. Þessvegna er $$ \frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{|D E|}{|A C|}=\frac{|B D|}{|A B|}=\frac{|B D|}{10},$$ svo að $|B D|=\frac{20}{3}$.

Dæmi 8. Neðra stig 1996-97

Þversumma tölunnar $10^{96}-96$ er

Lausn

Sjáum að $$ 10^{96}-96=1\underbrace{00\cdots0}_{96}-96=\underbrace{99\cdots9}_{94}04. $$ Því er þversumma tölunnar $10^{96}-96$ jöfn $94\cdot 9+0+4=850$.

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Lengd kassa vex um $2\%$ og breidd hans um $3\%$, en hæð hans minnkar um $5\%$. Hvernig breytist rúmmál kassans?

Lausn

Segjum að upphaflega hafi lengd kassans verið $l$, breidd hans $b$ og hæð hans $h$. Upphaflega rúmmálið var þá $l\cdot b\cdot h$. Eftir breytinguna er lengdin $\text{1,02}\cdot l$, breiddin $\text{1,03}\cdot b$ og hæðin $\text{0,95}\cdot h$. Rúmmálið eftir breytingu er þá $$ \begin{aligned} (\text{1,02}\cdot l)\cdot (\text{1,03}\cdot b)\cdot (\text{0,95}\cdot h)&=\text{1,02}\cdot \text{1,03}\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &=(1+\text{0,02})\cdot(1+\text{0,03})\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &\lt (1+\text{0,05})\cdot(1-\text{0,05})\cdot lbh\\ &=(1-\text{0,0025})\cdot lbh\\ &\lt lbh \end{aligned} $$ svo það minnkar.

Dæmi 1. Neðra stig 1996-97

Út úr búð kostar Töfrabumbustrekkjarinn $9.995$ kr. Í Sjónvarpssjoppunni er hægt að kaupa þetta undratæki með þremur afborgunum, hverri að upphæð $2.995$ kr., en jafnframt þarf að greiða $995$ kr. í sendingarkostnað. Hve mikið sparast með því að kaupa tækið hjá Sjónvarpssjoppunni frekar en út úr búð?

Lausn

Töfrabumbustrekkjarinn kostar $3\cdot 2.995+995=8.985+995=9.980$ krónur í sjónvarpssjoppunni. Hann er því $9.995-9.980=15$ krónum ódýrari þar.

Dæmi 2. Neðra stig 1996-97

Hverja eftirfarandi mynda má brjóta þannig saman að út fáist píramíti með ferningslaga grunnflöt?

Lausn

Þrír þríhyrningar í röð eins og á myndum $A$, $B$ og $C$ gefa okkur þrjár hliðar píramítans. Þá vantar norðurhliðina svo það er mynd $C$ sem gefur okkur píramítann.

Dæmi 3. Neðra stig 1996-97

Stærðin $$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}$$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}= 1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{5}{21}}} =1+\frac{1}{2+\frac{21}{68}} =1+\frac{68}{157}=\frac{225}{157}. $$