E1 | stæ.is

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$, þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$, þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$. Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Maja sló grasflöt sem var rétthyrningur $20$ m sinn um $12$ m að stærð. Hún byrjaði á því að slá ræmu umhverfis flötinn og hélt svo áfram eins og sýnt er á myndinni. Ef sláttuvélin sló braut sem var $1$ m á breidd, hversu oft þurfti Maja að beygja um $90^\circ$ til vinstri?

Lausn

Hugsum okkur að upp á blaðinu sé norður. Maja byrjar því í norðvestur horni blettsins og gengur í suður. Þar sem bletturinn er stærri á austur—vestur hliðina heldur en á norður—suður hliðina, þá endar Maja á því að ganga í austur eða vestur. Hún labbar $12$ sinnum í austur eða vestur og þar sem hún labbar í austur áður en hún labbar í vestur í fyrsta skipti, þá endar hún á því að labba í vestur. Í hvert skipti sem Maja byrjar að slá í suður verður hún að taka fjórar vinstribeygjur áður en hún byrjar næst að slá í suður. Hinsvegar þarf hún ekki að snúa sér í suður í síðasta skiptið sem hún labbar í vestur, svo í síðasta hringnum tekur hún aðeins þrjár vinstribeygjur. Alls eru vinstri beygjurnar þá $5\cdot 4 + 3=23$.

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Lausn

Við gerum ráð fyrir að allt vatn sem rennur úr hólfi $P$ fari yfir í hólf $Q$. Ef við lítum á þverskurð af bakkanum, þá sjáum við að úr hólfi $P$ renna $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=18$ cm$^3$. Hólf $Q$ getur haft alls $3\cdot 4\cdot 4 - 18 = 30$ cm$^3$, en fyrir eru $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 4=24$ cm$^3$, svo það getur aðeins tekið við 6 cm$^3$. Afgangurinn, eða $18-6=12$ cm$^3$, renna því úr bakkanum.

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Lausn

Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.

Dæmi 10 Efra stig 1997-1998

Gefnar eru fjórar heiltölur. Þegar þrjár þeirra eru lagðar saman fást útkomurnar $180, 197, 208, 222$. Hvert er gildi stærstu tölunnar af upphaflegu tölunum fjórum?

Lausn

Svar: $89$

Lausn: Röðum tölunum fjórum eftir stærð og köllum þær $a, b, c$ og $d$, þannig að $d$ er stærst. Minnsta summa þriggja þeirra er $a + b + c = 180$. Ef viðleggjum saman $180 + 197 + 208 + 222 = 807$, fáum við út tölu sem er jöfn $3(a+b+c+d)$ og því er $a+b+c+d = 269$. Frá því drögum við $a + b + c = 180$ og ályktum að $d = 89$.

Dæmi 9 Efra stig 1997-1998

Talan 1.000.000 er rituð sem margfeldi af tveimur jákvæðum heilum tölum þannig að tölustafurinn 0 komi fyrir í hvorugri tölunni. Minni talan er

Lausn

Svar: $64$

Lausn: Þegar talan $1.000.000$ er rituð sem margfeldi frumtalna fæst að $1.000.000 = 2^6 \cdot 5^6$. Ef bæði $2$ og $5$ ganga upp í tölu, þá gengur $10$ upp í henni og hún endar á $0$. Eina leiðin til að skrifa $1.000.000$ sem margfeldi tveggja jákvæðra heiltalna þar sem tölustafurinn $0$ kemur fyrir í hvorugri er því að önnur sé $2^6$ og hin $5^6$. Minni talan er þá $2^6 =64$.

Dæmi 8 Efra stig 1997-1998

Í nefnd eru fjórir menn: Einar, Friðrik, Lárus og Rögnvaldur. Um hvern þeirra er vitað að annaðhvort segir hann alltaf satt, eða lýgur alltaf. Fundargerð síðasta nefndarfundar lítur svona út:

Fundur settur.
Einar segir við Friðrik: „Þú ert lygari.“
Rögnvaldur segir við Einar: „Þú ert sjálfur lygari.“
Lárus segir við Rögnvald: „Þeir eru báðir lygarar.“
Skömmu síðar heldur Lárus áfram og segir við Rögnvald: „Þú ert líka lygari.“
Fleira gerðist ekki. Fundi slitið.

Hver eftirfarandi fullyrðinga er rétt (miðað við að fundargerðin sé rétt)?

Lausn

Svar: Einar og Lárus eru lygarar.

Lausn: Einar og Lárus eru lygarar. Lausn: Er mögulegt að Einar segi satt? Ef Einar segir satt, þá er Friðrik lygari því Einar segir það og einnig er Rögnvaldur lygari því hann segir að Einar ljúgi. Fyrri staðhæfing Lárusar, um að Einar og Friðrik séu lygarar, er því lygi og samkvæmt því er Lárus lygari. Aftur á móti er seinni staðhæfing Lárusar, að Rögnvaldur sé lygari, sönn, og samkvæmt því er Lárus ekki lygari. Þetta fær ekki staðist, svo útilokað er að Einar segi satt.

Við getum nú gengið út frá því að Einar ljúgi. Þá vitum við að Friðrik er ekki lygari, því að staðhæfing Einars um að Friðrik sé lygari er lygi. Einnig sjáum við að Rögnvaldur er ekki lygari, því að fullyrðing hans um að Einar sé lygari er sönn. Lárus lýgur þegar hann segir að bæði Einar og Friðrik séu lygarar. Því eru það Einar og Lárus sem eru lygarar, en Friðrik og Rögnvaldur segja alltaf satt. (Í hópnum sem samdi þessa keppni eru fjórir menn sem heita einmitt Einar, Friðrik, Lárus og Rögnvaldur. Þegar þeir voru spurðir hvort að í dæminu væri verið að fjalla um þá sögðu tveir já, en tveir neituðu.)

Dæmi 7 Efra stig 1997-1998

Við búum til spíral með því að skeyta saman hálfhringum. Byrjum með hálfhring með þvermál $2$, næst tökum við hálfhring með þvermál $3$, þar á eftir hálfhring með þvermál $4$, o.s.frv. (sjá mynd). Hvað er spírallinn langur þegar við höfum skeytt saman $100$ hálfhringum?

Lausn

Svar: $ 2575 \pi $

Lausn: Geisli hrings með þvermálið $n$ er $\frac{n}{2}$ og ummálið er því $2\cdot \frac{n}{2}\cdot \pi = n\cdot \pi$. Lengd boga hálfhrings með þvermál $n$ er jafnt hálfu ummáli hrings með sama þvermál, svo lengd hálfhringsins er $\frac{n}{2}\cdot \pi$. Við byrjum á hálfhring með þvermál $2$ og endum á hálfhring með þvermálið $101$. Lengd spíralsins er samanlögð lengd allra hálfhringanna, og er jöfn \[ \frac{\pi}{2}\cdot (2+3+\cdots + 101) = \frac{\pi}{2}\frac{100\cdot(2 + 101)}{2}=2575\pi \]

Dæmi 6 Efra stig 1997-1998

Í körfuboltakeppni, þar sem hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna, vann sigurliðið alla leiki sína nema einn, neðsta liðið tapaði öllum leikjum sínum nema einum, og hin liðin unnu fjóra leiki hvert. (Athugið að í körfubolta lýkur leik aldrei með jafntefli.) Hve mörg voru liðin?

Lausn

Svar:9

Lausn: Látum $n$ tákna fjölda liða. Hvert lið leikur einn leik á móti hverju hinna og leikur því $n - 1$ leik. Því eru alls leiknir $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$ leikir á mótinu. Heildarfjöldi vinninga sem liðin fá er því $\frac{n\cdot (n - 1)}{2}$. Upplýsingar okkar segja að efsta liðið fékk $n - 2$ vinninga, neðsta liðið fékk $1$ vinning, og hin liðin, $n - 2$ að tölu, fengu $4$ vinninga hvert. Heildar fjöldi vinninga er því $(n-2)+1+(n-2)\cdot 4=5 n - 9$. Fáum þá jöfnuna \[ \frac{n\cdot (n - 1)}{2} = 5n - 9 , \] Sem er jafngild jöfnunni $n^2 - 11n + 18 =0$. Þegar þessi jafna er leyst fæst að $n=2$ eða $n=9$. Það að bara tvö lið hafi verið í mótinu fær ekki staðist, þá er bara leikinn einn leikur og samkvæmt forsendunum þá vinnur neðsta liðið þann leik og er því ekki neðst! Liðin eru því $9$.

Dæmi 5 Efra stig 1997-1998

Hvað eru til margir þríhyrningar þannig að lengdir allra hliðanna séu heilar tölur og ummálið sé 10?

Lausn

Svar: $2$

Lausn: Ef $a, b, c$ eru hliðarlengdir í þríhyrningi, þá verður að gilda að $a+b \gt c$, $a+c \gt b$ og $b+c \gt a$. Inntak þessara jafna er sú staðreynd að stysta leið á milli tveggja punkta er bein lína. Nú er ein hliðin að minnsta kosti $4$ því ef hver hlið í þríhyrningi er minni eða jöfn $3$, þá er ummálið minna eða jafnt $9$. Ef hinsvegar ein hliðin er $5$, þá er summa hinna $10 - 5 = 5$ í mótsögn við að summa lengda tveggja hliða sé ávallt stærri en lengd þriðju hliðarinnar. Því hefur ein hliðin lengd $4$, lengdir hinna tveggja eru minni eða jafnar $4$ og summa þeirra er $10 - 4 = 6$. Til greina koma þá þríhyrningar með hliðarlengdir $3, 3, 4$ og hliðarlengdir $2, 4, 4$. Ljóst er að slíkir þríhyrningar eru til.