E1 | stæ.is

Dæmi 4. Neðra stig 1993-94

Lausn jöfnunnar $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1} = 2$ er

Lausn

Hér er sjálfsagt fljótlegast að prófa valmöguleikana. Fyrstu tveir koma ekki til greina þar sem þá er neikvæð stærð undir seinni rótinni. Þá eru aðeins tveir seinni eftir og með því að prófa þá sjáum við að $x=1$ er lausn en ekki $x=2$. Síðasti valmöguleikinn er því sá rétti.

Ef við viljum hinsvegar finna allar lausnir jöfnunnar þá myndum við bera okkur einhvernvegin svona að: Byrjum á að athuga fyrir hvaða $x$ jafnan $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ er skilgreind. Undir rótunum verður að vera frekar jákvæð stærð svo $5x-1\geq 0$ og $x-1\geq 0$, það er $x\geq 1$. En þar sem $\sqrt{x-1}$ er jákvæð stærð, þá er $\sqrt{5x-1}\leq 2$ svo að $5x-1\leq 4$ og því $x\leq 1$. Nauðsynlega er þá $x=1$. Við prófum $x=1$ og sjáum að það er lausn á jöfnunni.

Dæmi 1. Neðra stig 1993-94

Ef $3t-1=s-3$, þá er $t-3$ jafnt

Lausn

Ef $3t-1=s-3$, þá er $t=\frac{1}{3}(s-2)$ og því $$t-3=\frac{s-2}{3}-3=\frac{s-11}{3}.$$

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Maur vill komast frá horni $A$ til horns $B$ á rétthyrndum kubbi með hliðarlengdir 2, 4 og 8, eins og sýnt er á myndinni. Hve löng er stysta leiðin sem hann getur farið?

Lausn

Fletjum kubbinn út eins og sýnt er á myndinni. Maurinn getur valið um hvort hann hefur gönguna í punktinum $A$ eða í punktinum $A\prime$. Stysta leiðin milli $A$ og $B$ er lengd striksins $A B$ eða $\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}$ sem er stærri en lengd striksins $A\prime B$ sem er $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Lengd stystu leiðar sem maurinn getur farið er því $10$.

Dæmi 10. Efra stig 1992-93

Ef $x$ er rauntala, þá er $(1-|x|)(1+x)$ stærra en $0$ ef og aðeins ef

Lausn

Nú er $(1-|x|)(1+x)\gt 0$ þá og því aðeins að annaðhvort sé $1-|x|\gt 0$ og $1+x\gt 0$ eða þá $1-|x|\lt 0$ og $1+x\lt 0$. Í fyrra tilfellinu er $|x|\lt 1$ og $x\gt -1$ svo $-1\lt x\lt 1$. Í seinna tilfellinu er $|x|\gt 1$ og $x\lt -1$ svo $x\lt -1$. Höfum því að $(1-|x|)(1+x)\gt 0$ þá og því aðeins að $x\lt 1$ og $x\neq -1$.

Dæmi 19. Efra stig 1992-93

Látum $A$, $B$ og $C$ vera horn í þríhyrningi. Sýnið að $$ 1 \le \cos (A) + \cos (B) + \cos (C) \le \frac{3}{2}. $$

Lausn

Setjum $S = \cos (A) + \cos (B) + \cos (C)$. Þar sem $C = 180^\circ - (A+B)$, þá er $S = \cos (A) + \cos (B) - \cos (A+B)$. Með því að skipta hugsanlega um nöfn á punktunum $A$ og $B$, þá getum við gert ráð fyrir að hornið $A$ sé stærra en hornið $B$. Látum $x = {1\over2}(A+B)$ og $y = {1\over2}(A-B)$. Þá er $0 \le y \lt x \lt 90^\circ$. Ennfremur er $A = x+y$, $B = x-y$ og $A+B = 2x$ svo $$S = \cos(x+y)+\cos(x-y)-\cos(2x)=2 \cos (x) \cos (y) - 2 \cos^2 (x) + 1.$$ Þar sem $0 \le y \lt x \lt 90^\circ$, þá er $1\geq \cos (y) \gt \cos (x) \gt 0$. Af því leiðir að $\cos (x) \cos (y) \gt \cos^2 (x)$ svo $S \gt 1$. Þar sem $\cos (y) \le 1$ og $\cos (x) \gt 0$, þá er $$S \le 2 \cos (x) - 2 \cos^2 (x) + 1 = {3\over2} - 2(\cos (x) - {1\over2})^2\leq \frac{3}{2}.$$

Dæmi 12. Efra stig 1992-93

Námsmaður nokkur gengur daglega frá $A$ til $B$. Hann gengur annaðhvort alltaf í suður eða austur, en til tilbreytingar þá kastar hann upp krónu um hvort hann fer í suður eða austur ef hann á val. Hver eru líkindi þess að hann fari um gatnamót $C$?

Lausn

Látum $(m,n)$ tákna punktinn sem við erum í eftir að hafa farið $m$ sinnum suður og $n$ sinnum austur.

Einfaldast er að leysa dæmið þannig að við rekjum okkur út frá upphafspunktinum og reiknum út líkindi þess að við förum um hvern punkt fyrir sig. Til dæmis eru líkindi þess að við förum um $(1,0)$ greinilega $\frac{1}{2}$. Til að komast til $(1,1)$ þá verðum við annað hvort að koma frá $(1,0)$ eða frá $(0,1)$. Ef við erum í öðrum hvorum þessara punkta, þá eru helmings líkindi á að við förum næst í $(1,1)$. Því eru líkindin á því að við förum um $(1,1)$ helmingur líkinda þess að við förum um $(1,0)$ að viðbættum helmingi líkinda þess að við förum um $(0,1)$, eða samtals $\frac{1}{2}$.
Athugum þó að þegar við erum komin í jaðarpunkt þá eigum við ekki lengur neitt val. Til dæmis ef við erum í $(0,3)$, þá verðum við næst að fara í $(1,3)$. Ef við táknum líkindi þess að fara um punktinn $(m,n)$ með $p(m,n)$, þá höfum við að \begin{align} p(0,0) &= 1,\\ p(0,1) &= p(1,0) =\tfrac{1}{2},\\ p(0,2) &= p(2,0) = \tfrac{1}{4},\\ p(0,3) &= p(3,0) = \tfrac{1}{8},\\ p(1,1) &= \tfrac{1}{2}p(0,1)+\tfrac{1}{2}p(1,0) = \tfrac{1}{2},\\ p(1,2) &= \tfrac{1}{2}p(1,1)+\tfrac{1}{2}p(0,2)=\tfrac{3}{8},\\ p(2,1) &= \tfrac{1}{2}p(1,1)+\tfrac{1}{2}p(2,0)=\tfrac{3}{8},\\ p(1,3) &= p(0,3)+\tfrac{1}{2}p(1,2)=\tfrac{5}{16},\\ p(3,1) &= \tfrac{1}{2}p(3,0)+\tfrac{1}{2}p(2,1)=\tfrac{1}{4},\\ p(2,2) &= \tfrac{1}{2}p(1,2)+\tfrac{1}{2}p(2,1)=\tfrac{3}{8},\\ p(2,3) &= \tfrac{1}{2}p(2,2)+p(1,3)=\tfrac{1}{2},\\ p(3,2) &= \tfrac{1}{2}p(2,2)+\tfrac{1}{2}p(3,1)=\tfrac{5}{16},\\ p(3,3) &= p(2,3)+\tfrac{1}{2}p(3,2)=\frac{21}{32}. \end{align}

Líkindi þess að námsmaðurinn fari um punktinn $C$ eru þá $p(3,3)=\frac{21}{32}$.

Í svona dæmum gæti það virst vera einföld leið að telja bara fjölda mismunandi leiða til $B$, telja svo fjölda leiða sem liggja um $C$ og segja svo að svarið sé kvóti þessara talna. Hérna dugar þessi aðferð ekki því leiðirnar til $B$ hafa ekki allar jöfn líkindi. Til dæmis eru líkindi þess að leiðin sem liggur um $(0,3)$ verði farin jöfn $\frac{1}{8}$ en líkindi þess að leiðin sem liggur um $(4,0)$ sé farin eru jöfn $\frac{1}{16}$.

Dæmi 13. Efra stig 1992-93

Fyrir hvaða gildi á rauntölunni $a$ hafa jöfnurnar $x^2+ax+1=0$ og $x^2-x-a=0$ sameiginlega rauntölulausn?

Lausn

Ef $x$ er sameiginleg lausn jafnanna, þá er $x^2+ax+1=x^2-x-a$. Við einföldum þess jöfnu, þáttum og fáum að $(a+1)(x+1)=0$. Ef $a\neq-1$, þá er $x=-1$. Ef við setjum $x=-1$ inn í jöfnurnar $x^2+ax+1=0$ og $x^2-x-a=0$ fáum við $a=2$ í báðum tilfellum og því hafa jöfnurnar sameiginlega rauntölulausn fyrir $a=2$. Ef hinsvegar $a=-1$, þá verða báðar jöfnurnar $x^2-x+1=0$. En nú er $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\gt 0$ fyrir öll $x$ svo jöfnurnar hafa enga sameiginlega lausn fyrir $a=-1$.

Dæmi 15. Efra stig 1992-93

Gefin er tala $a\ge 1$. Finnið allar lausnir $x$ á jöfnunni $$ \sqrt{a-\sqrt{a+x}} = x. $$

Lausn

Ræturnar eru óþjálar í meðferð svo fyrsta verkefnið er að losna við þær. Byrjum með $$ \begin{align} \sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x, \quad (1) \end{align} $$ hefjum upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerkið og fáum $$ \begin{align} a-\sqrt{a+x}=x^2. \quad (2) \end{align} $$ Snyrtum til, $$ \begin{align} \sqrt{a+x}=a-x^2, \quad (3) \end{align} $$ hefjum aftur upp í annað veldi og fáum $$ \begin{align} a+x=x^4-2ax^2+a^2. \quad (4) \end{align} $$ Við höfum nú fengið eftirfarandi jöfnu $$ \begin{align} x^4-2ax^2-x+a^2-a=0. \quad (5) \end{align} $$ Þegar við hefjum svona upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerki þá verðum við að gæta sérstakrar varúðar því upplýsingar um formerki týnast, til dæmis er engin leið að sjá af jöfnu $(2)$ að $x\geq 0$ sem er þó augljóst af jöfnu $(1)$. Þegar við förum yfir reikningana sjáum við að $x$ verður ekki einungis að vera lausn á $(5)$ heldur verður einnig að gilda að $x\geq 0$ og að $a\geq x^2$ (sbr. jöfnu $(3)$). Nú koma tvær leiðir til greina.

(a) Hugsum um $(5)$ sem annars stigs jöfnu í $a$, $$a^2-(2x^2+1)a+x^4-x=0.$$ Leysum þessa jöfnu og fáum tvær lausnir $$ a=\frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x^2+1)^2-4(x^4-x)}}{2} = \frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x+1)^2}}{2}. $$ Einföldum og fáum þá annars vegar $$a=x^2-x,$$ og hinsvegar $$a=x^2+x+1.$$ Tilfellið $a=x^2-x$ kemur ekki til greina, því ef við stingum inn fyrir $a$ í jöfnu $(3)$ fæst $|x|=-x$ svo $x\lt 0$ í mótsögn við að $x\geq 0$. Við leysum fyrir $x$ í $a=x^2+x+1$ og fáum $$ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(1-a)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2} $$ Lausnin $x=-(1+\sqrt{4a-3})/2$ kemur hinsvegar ekki til greina þar sem hún er neikvæð. Við athugum nú hvort $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ sé lausn $(1)$. Til þess þurfum við að ganga úr skugga um að $x\gt 0$ og að $x^2\leq a$. Þar sem $a\geq 1$, þá er $4a-3\geq 1$ svo $x\geq 0$. Einnig er $$a-x^2=a-\frac{4a-2-2\sqrt{4a-3}}{4}=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}\gt 0.$$ Höfum því að $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ er eina lausn $(1)$.

(b) Þáttum margliðuna á vinstri hlið $(5)$ í tvær annars stigs margliður. Eftir svolitla umhugsun gætum við búist við að fyrsti liður í þeim báðum verði $x^2$, miðliður $x$ með mismunandi formerkjum og síðasti liður í annarri $a$ og í hinni $a-1$. Með þessa vitneskju í farteskinu getum við sett upp tvo sviga og svo reynt að stilla af formerkin þannig að rétt útkoma fáist. Fáum að $$ (x^2-x-a)(x^2+x-(a-1))=x^4-2ax^2-x+a^2-a. $$ Við getum svo haldið áfram eins og í lið (a).

Dæmi 18. Efra stig 1992-93

Í skógi nokkrum búa $12$ dvergar sem bera mánaðaheitin $12$. Þeir búa ýmist í bláum eða rauðum húsum. Í hverjum mánuði heimsækir samnefndur dvergur alla vini sína. Ef hann kemst að því að meirihluti vina hans býr í húsum sem eru ósamlit hans eigin, þá málar hann sitt hús einnig í þeim lit. Nýlega lagði norn nokkur þau álög á dvergana að þeir gætu ekki eignast nýja vini, en að núverandi vinabönd, sem eru gagnkvæm, haldist að eilífu. Sýnið að fyrr eða síðar muni enginn dvergur þurfa að breyta um lit á húsinu sínu.

Lausn

Látum $N$ vera fjölda þeirra vinapara sem eru þannig að vinirnir hafa samlit hús. Við sýnum að $N$ stækkar í hvert sinn sem dvergur skiptir um lit á húsi sínu. Þar sem $N$ getur ekki stækkað endalaust þá leiðir af þessu að að því kemur að enginn dvergur mun skipta um lit á húsi sínu. Gerum ráð fyrir að dvergur þurfi að skipta um lit á húsi sínu. Ef vinir hans eru $n$ talsins og $k$ þeirra hafa hús í sama lit og hann þá þýðir þetta að $n-k \gt k$. Við það að dvergurinn skiptir um lit á húsi sínu glatast $k$ vinapör sem hafa samlit hús en $n-k$ ný myndast. Þar sem $n-k \gt k$ þá stækkar $N$.

Dæmi 11. Neðra stig 1992-93

Gefinn er þríhyrningur $A B C$ og punktur $D$ á hliðinni $AB$ þannig að $|A D|=|C D|=|B C|$ og $\angle B A C= 40^\circ$. Hvað er hornið $\angle D C B$ stórt?

Lausn

Þríhyrningurinn $A D C$ er jafnarma, svo að hornin $\angle D C A$ og $\angle D A C$ eru jafn stór. þá er \[ \angle B D C = \angle D A C + \angle D C A = 2 \angle D A C = 80^\circ \] Þríhyrningurinn $B C D$ er einnig jafnarma svo $\angle D B C = \angle B D C$ og þá \[ \angle B C D = 180^\circ - 2 \angle B D C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \]