E2 | stæ.is

Dæmi 18. Neðra stig 1992-93

Tölustafirnir $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ og $6$ eru allir notaðir til að mynda sex stafa tölu $ a b c d e f$ þannig að þriggja stafa talan $a b c$ er deilanleg með $4$, $ b c d $ deilanleg með $5$, $c d e$ deilanleg með $3$ og $d e f$ deilanleg með $11$. Hver er talan $a b c d e f$?

Lausn

Svar: $324561$

Þar sem talan er sex stafa og tölustafirnir eru allir notaðir, þá er hver notaðar nákvæmlega einu sinni. Nú gengur $5$ upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Því er $d = 5$. Við gerum okkur töflu yfir allar þriggja stafa tölur sem byrja á $5$ og $11$ ganga upp í.

$k$	46	47	48	49	50	51	52	53	54
$11 k$	506	517	528	539	550	561	572	583	594

Einungis $561$ kemur til greina sem talan $d e f$ því allar hinar innihalda einhvern af tölustöfunum $7$,$8$,$9$ eða $0$. Þá er $e=6$ og $f =1$. Þar sem $4$ ganga upp í $a b c$ er $c$ sér í lagi slétt tala og því annaðhvort $2$ eða $4$. En $3$ ganga ekki upp í $256=3\cdot 85+1$ svo $c=4$. Þá er $a=3$ og$b=2$ eða þá $a=2$ og $b = 3$. En seinna tilfellið gengur ekki því $4$ er ekki þáttur í $2 3 4 = 4\cdot 58+2$. Höfum því að $a b c d e f$ er talan $324561$.

Lausn 2: Ljóst er að $d=5$ því $5$ gengur upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Nú er vel þekkt að $11$ gengur upp í $d e f$ þá og því aðeins að $11$ gangi upp í $d-e+f = 5-(e-f)$. Þá er nauðsynlega $e-f = 5$ svo að $e = 6$ og $f = 1$. Einnig er vel þekkt að $3$ gengur upp í $c d e$ þá og því aðeins að $3$ gangi upp í $c+d+e = c+5+6 = c+11$. Þá er nauðsynlega $c = 4$ því við höfum þegar notað tölustafinn $1$. Þá er $a b c = 234$ eða $a b c = 324$. En $4$ gengur ekki upp í $234=4\cdot 58+2$ svo að $a=3$ og $b=2$. Höfum þá að talan er $324561$.

Dæmi 19. Neðra stig 1992-93

Í þríhyrningnum $ABC$ á myndinni eru $AE$ og $BD$ miðlínur, $F$ er skurðpunktur þeirra, $\angle BAC=\angle AFB = 90^\circ$ og lengd $AB$ er 12. Hver er lengd $BC$?

Lausn

Svar: $12\sqrt{3}$

Við sýnum tvær lausnir. Í þeirri fyrri notum við hreina rúmfræði en í þeirri seinni innleiðum við hnitakerfi.

Lausn 1: Þar sem hornið $\angle CAB$ er rétt, þá er $E$ miðja umritaðs hrings þríhyrningsins $CAB$. Þá er $|AE|=|BE|$. Setjum $|DF|=x$ og $|EF|=y$. Þá er $|AF|=2y$ og $|BF|=2x$ því miðstrik í þríhyrningi skipta hvert öðru í hlutföllunum $1:2$. Einnig er $|BE|=|AE|=3y$ og þar sem þríhyrningurinn $BEF$ er rétthyrndur gefur regla Pýþagorasar að $9y^2=y^2+4x^2$, það er $x^2=2y^2$. En þríhyrningurinn $ABF$ er einnig rétthyrndur og regla Pýþagorasar gefur að $12^2=4x^2+4y^2$ svo $x^2+y^2=36$. Þá er $y^2=36-x^2=36-2y^2$ svo $y^2=12$ og því $y=2\sqrt{3}$. Þá er $|BC|=6y=12\sqrt{3}$.

Lausn 2: Látum punktinn $A$ fá hnit $(0,0)$, látum línuna $AB$ liggja á $y$-ásnum þannig að $B$ fái hnitin $(0,12)$. Þá liggur $AC$ á $x$-ásnum og $C$ hefur hnitin $(2 a,0)$ þar sem $a$ er rauntala og við getum gert ráð fyrir að $a\lt 0$ með því að spegla myndinni hugsanlega um $y$-ásinn. Nú er $D$ miðpunktur $AC$ og hefur því hnitin $(a,0)$ og eins hefur $E$ hnitin $(a,6)$. Hallatala línunnar $AE$ er þá $\frac{6}{a}$ og hallatala línunnar $BD$ er $-\frac{12}{a}$. Þar sem línurnar eru hornréttar, þá er margfeldi hallatalnanna jafnt $-1$ svo $$\frac{6}{a}\cdot\left(-\frac{12}{a}\right) = -1$$ og því er $a^2=72$. Þá hefur hliðin $AC$ lengd $2\sqrt{72}$, svo að $$ |BC|=\sqrt{|AC|^2+|AB|^2}=\sqrt{144+288}=\sqrt{3\cdot144}=12\sqrt{3}. $$

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn

Lausn

Ef við tökum saman $k$-tu liðina í hverjum sviga, þá eru þeir $$(2k-1)^2-(2k)^2+4k=-4k+1+4k=1.$$ Þeir eru 50 talsins, svo summan er 50.

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er

Lausn

Fjöldinn er jafn fjölda skurðpunkta grafa fallanna $f(x)=\cos (x)$ og $g(x)=1-\frac{2x}{3\pi}$. Hann er 3.

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Tveir hringir í sléttu hafa sama geisla og miðpunktur hvors hrings liggur á hinum hringnum. Ef geislinn er jafn 1, þá er flatarmál svæðisins sem er innan í báðum hringunum jafnt:

Lausn

Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $875$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Táknum talnaröðina með $n+(n+1)+\cdots+(n+k)$. Þá er summan $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 875=1750$. Nú er $2^2\cdot 5^2\cdot 17$ frumþáttun $1750$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$ sem við notfærum okkur til að gera eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $k+1$ og $2n+k$.

$k+1$	2	5	7	10	14	25	35
$2 n + k$	875	350	250	175	125	70	50
$k$	$1$	$4$	$6$	$9$	$13$	$24$	$34$
$n$	$437$	$173$	$122$	$83$	$56$	$23$	$8$

Sjáum að það má á alls 7 vegu skrifa 875 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð.

Dæmi 12. Efra stig 1991-92

Ellefu jafnmunarunur eru myndaðar með mun 13 og byrjunartölu 1991, 1992, 1993, $\dots$, 2001. Runurnar eru endalausar. Fjöldi runanna sem innihalda ferningstölu er

Lausn

Látum $x$ vera eina af tölunum $1991, 1992, \ldots, 2001$. Þá má skrifa $x$ sem $13\cdot 153+\alpha$ þar sem $\alpha$ er ein af tölunum $2,\ldots, 12$. Við þurfum að ákvarða fyrir hvaða $x$ sé til náttúrleg tala $k$ þannig að $x+13k=y^2$ þar sem $y$ er náttúrleg tala. Skrifum $y=13\cdot a+b$ þar sem $b$ er ein af tölunum $0,1,\ldots,12$. Ef við reiknum samleifa 13 fáum við að $b^2\equiv y^2 \equiv x+13k\equiv \alpha$. En $b^2$ er einungis samleifa einhverri af tölunum 0, 1, 3, 4, 9, 10 eða 12 eins og fæst með því að prófa allar tölurnar frá 0 upp í 12 svo að $\alpha$ er þá ein af tölunum 3, 4, 9, 10 eða 12.

Dæmi 15 Efra stig 1997-1998

Punktur $P$ er valinn innan í þríhyrningnum $A B C$. Í gegnum $P$ eru dregnar línur samsíða hliðum þríhyrningsins. Þá myndast þrír minni þríhyrningar, sem hafa flatarmál $4$, $9$ og $49$. Hvert er flatarmál stóra þríhyrningsins $ABC$?

Lausn

Lausn: Látum $D$ og $E$ vera skurðpunkta línanna gegnum $P$ við $AB$ og $F$ og $G$ vera skurðpunkta hliðanna $A C$ og $BC$ við línuna gegnum $P$ sem er samsíða $A B$. Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línum. Af því má álykta að litlu þríhyrningarnir þrír og sá stóri eru allir einslaga. Einnig má álykta að strikin $FP$ og $AD$ séu jafn löng, og sömu leiðis $P G$ og $E B$ (því mótlægar hliðar í samsíðungi eru jafn langar). Látum $x$ tákna lengd $F P$ og $A D$, og $y$ tákna lengd $P G$ og $E B$, og $z$ tákna lengd $DE$. Athugum nú, að ef hlutfall samsvarandi hliða tveggja einslaga þríhyrninga er $k$, þá er hlutfall flatarmála þeirra $k^2$ (sbr. dæmi 10). Því fæst $\left(\frac{y}{x} \right)^2=\frac{9}{4}$ svo að $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ og $\left(\frac{z}{x} \right)^2=\frac{49}{4}$ svo að $\frac{z}{x}=\frac{7}{2}$. Lengd $A B$ er $x+y+z$ og $$\frac{x+y+z}{x}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=6.$$ Því eru hliðar þríhyrningsins $A B C$ sexfalt lengri en samsvarandi hliðar þess minnsta, og flatarmál $A B C$ því 36 sinnum stærra, eða $36\cdot 4=144$.

Dæmi 14 Efra stig 1997-1998

Teningur sem er $11$ cm á hvern kant er búinn til með því að líma saman $11^3$ teninga sem hver er $1$ cm á kant. Hver er mesti fjöldi einingarteninga sem hægt er að sjá í einu?

Lausn

Svar: $331$

Lausn: Með hliðsjón af myndinni getum við sagt að á framhliðinni sjáist í $11^2 = 121$ teninga. Á þeirri hlið sem veit til hliðar sést líka í $11^2 = 121$ teninga, en þeir teningar sem eru á brúninni við framhliðina sjást líka á framhliðinni. Þegar við teljum þessa hlið með bætast því við $11^2 - 11 = 110$ teningar. Á hliðinni sem veit upp sést líka í $11^2 = 121$ teninga, en þeir sem eru á brúnunum við framhliðina og hliðina sem veit til hliðar hafa þegar verið taldir með. Á hvorri brún eru $11$ teningar, en sá sem er á horninu tilheyrir báðum brúnunum, svo það eru samtals $21$ teningur á þessum brúnum. Þegar hliðinni sem snýr upp er bætt við þá fáum við $11^2 - 21 = 100$ teninga til viðbótar. Samtals sjáum við því $121 + 110 + 100 = 331$ tening.

Dæmi 13 Efra stig 1997-1998

Talan $G$ er margfeldi allra heilla talna frá $100$ til $200$ (báðar tölurnar taldar með). Hver er hæsta tala $n$ þannig að $5^n$ gengur upp í $G$?

Lausn

Svar: 27

Lausn: Talan $G$ er skilgreind sem $100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot … \cdot 199 \cdot 200$. Veldið $n$ finnst með því að fara í gegnum tölurnar $100, 101, 102, … , 199, 200$, og telja hvað $5$ gengur upp í mörgum þeirra, og þá hversu oft. Útkoman úr þessari talningu er $n$-ið okkar. Á bilinu frá $100$ til $200$ er $21$ tala sem $5$ gengur upp í $(100, 105, … , 200)$, $5^2$ gengur upp í fimm þeirra $(100, 125, 150, 175, 200)$ og $5^3$ gengur upp í eina $(125)$. Því eru það $16$ tölur sem $5$ gengur einu sinni upp í, $4$ tölur sem $5$ gengur tvisvar upp í, og ein sem $5$ gengur þrisvar upp í. Þá er $n=21+5+1=27$.