Tölustafirnir $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ og $6$ eru allir notaðir til að mynda
sex stafa tölu
$ a b c d e f$ þannig að þriggja stafa talan $a b c$ er deilanleg með $4$, $ b c d $
deilanleg með $5$, $c d e$ deilanleg með $3$ og $d e f$ deilanleg með $11$. Hver
er talan $a b c d e f$?
Lausn
Svar : $324561$
Þar sem talan er sex stafa og tölustafirnir eru allir notaðir, þá er hver notaðar nákvæmlega einu sinni. Nú gengur $5$ upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Því er $d = 5$. Við gerum okkur töflu yfir allar þriggja stafa tölur sem byrja á $5$ og $11$ ganga upp í.
$k$
46
47
48
49
50
51
52
53
54
$11 k$
506
517
528
539
550
561
572
583
594
Einungis $561$ kemur til greina sem talan $d e f$ því allar hinar innihalda einhvern af tölustöfunum $7$,$8$,$9$ eða $0$. Þá er $e=6$ og $f =1$. Þar sem $4$ ganga upp í $a b c$ er $c$ sér í lagi slétt tala og því annaðhvort $2$ eða $4$. En $3$ ganga ekki upp í $256=3\cdot 85+1$ svo $c=4$. Þá er $a=3$ og$b=2$ eða þá $a=2$ og $b = 3$. En seinna tilfellið gengur ekki því $4$ er ekki þáttur í $2 3 4 = 4\cdot 58+2$. Höfum því að $a b c d e f$ er talan $324561$.
Lausn 2 : Ljóst er að $d=5$ því $5$ gengur upp í tölu þá og því aðeins að hún endi á $0$ eða $5$. Nú er vel þekkt að $11$ gengur upp í $d e f$ þá og því aðeins að $11$ gangi upp í $d-e+f = 5-(e-f)$. Þá er nauðsynlega $e-f = 5$ svo að $e = 6$ og $f = 1$. Einnig er vel þekkt að $3$ gengur upp í $c d e$ þá og því aðeins að $3$ gangi upp í $c+d+e = c+5+6 = c+11$. Þá er nauðsynlega $c = 4$ því við höfum þegar notað tölustafinn $1$. Þá er $a b c = 234$ eða $a b c = 324$. En $4$ gengur ekki upp í $234=4\cdot 58+2$ svo að $a=3$ og $b=2$. Höfum þá að talan er $324561$.