Með því að skipta hugsanlega um nöfn á $a$ og $b$ annarsvegar og $c$ og $d$ hinsvegar, þá getum við gert ráð fyrir að $a\geq b$ og $c\geq d$. Ef við umritum $2^a+2^b=3^c+3^d$ fáum við $$ 3^{-d}\left(1+2^{a-b}\right)=2^{-b}(1+3^{c-d})$$ og við veitum því athygli að $a-b\geq 0$ og $c-d\geq 0$.

Ef $d\lt 0$, þá er $3^{-d}$ heil tala svo við höfum heila tölu á vinstri hlið og því er $3^{-d}$ þáttur í $1+3^{c-d}$. Þá er til heil tala $k$ þannig að $k3^{-d}=1+3^{c-d}$ og þar sem 3 er þáttur í $k3^{-d}$ en ekki í 1, þá er 3 ekki þáttur í $3^{c-d}$ og því $c=d$. En þá er $k3^{-d}=2$ svo 3 er þáttur í 2 sem er mótsögn. Því er $d\geq 0$ og þá einnig $c\geq 0$ því $c\geq d$.

Ef $b\lt 0$ förum við svipað að. Höfum þá að $2^{-b}$ er þáttur í $1+2^{a-b}$ og því $a=b$. Þá er $2^{-b}$ þáttur í 2 og þar sem $b\neq 0$ þá er $b=-1$ svo að $2^a+2^b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. En þá er $1=3^c+3^d=3^{d}(1+3^{c-d})$ og þar sem við höfum þegar séð að $d\geq 0$ sjáum við að $d=0$, annars væri 3 þáttur í 1. Þá er $1=1+3^{c-d}$ svo $3^{c-d}=0$ sem stenst ekki. Því er $b\geq 0$ og þá einnig $a\geq 0$ því $a\geq b$.

Höfum þá séð að engin talnanna $a$, $b$, $c$ og $d$ getur verið minni en $0$.