Skip to Content

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Maur vill komast frá horni $A$ til horns $B$ á rétthyrndum kubbi með hliðarlengdir 2, 4 og 8, eins og sýnt er á myndinni. Hve löng er stysta leiðin sem hann getur farið?





Dæmi 10. Efra stig 1992-93

Ef $x$ er rauntala, þá er $(1-|x|)(1+x)$ stærra en $0$ ef og aðeins ef

Dæmi 12. Efra stig 1992-93

Námsmaður nokkur gengur daglega frá $A$ til $B$. Hann gengur annaðhvort alltaf í suður eða austur, en til tilbreytingar þá kastar hann upp krónu um hvort hann fer í suður eða austur ef hann á val. Hver eru líkindi þess að hann fari um gatnamót $C$?

Dæmi 13. Efra stig 1992-93

Fyrir hvaða gildi á rauntölunni $a$ hafa jöfnurnar $x^2+ax+1=0$ og $x^2-x-a=0$ sameiginlega rauntölulausn?

Dæmi 15. Efra stig 1992-93

Gefin er tala $a\ge 1$. Finnið allar lausnir $x$ á jöfnunni $$ \sqrt{a-\sqrt{a+x}} = x. $$

Dæmi 18. Efra stig 1992-93

Í skógi nokkrum búa $12$ dvergar sem bera mánaðaheitin $12$. Þeir búa ýmist í bláum eða rauðum húsum. Í hverjum mánuði heimsækir samnefndur dvergur alla vini sína. Ef hann kemst að því að meirihluti vina hans býr í húsum sem eru ósamlit hans eigin, þá málar hann sitt hús einnig í þeim lit. Nýlega lagði norn nokkur þau álög á dvergana að þeir gætu ekki eignast nýja vini, en að núverandi vinabönd, sem eru gagnkvæm, haldist að eilífu. Sýnið að fyrr eða síðar muni enginn dvergur þurfa að breyta um lit á húsinu sínu.

Dæmi 19. Efra stig 1992-93

Látum $A$, $B$ og $C$ vera horn í þríhyrningi. Sýnið að $$ 1 \le \cos (A) + \cos (B) + \cos (C) \le \frac{3}{2}. $$

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1992-93

Myndin sýnir tvo hringa í planinu og þrjá sameiginlega snertla þeirra. Punktarnir $G$ og $H$ eru skurðpunktar, en punktarnir $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ og $F$ eru snertipunktar. Sýnið að strikin $GE$ og $FH$ eru jafnlöng.







Dæmi 20. Neðra stig 1992-93

Klukkan er á milli 7 og 7:30. Klukkuvísarnir mynda $84^\circ$ horn. Hvað er klukkan? (Nóg er að svarið sem þið gefið sé innan við 1 sekúndu frá réttu svari.)

Dæmi 21. Neðra stig 1992-93

Um náttúrlegu tölurnar $a,b,c,d$ gildir að $a^5 = b^6$, $c^3=d^4$ og $d-a=61$. Finnið $a,b,c$ og $d$.

Syndicate content