Ræturnar eru óþjálar í meðferð svo fyrsta verkefnið er að losna við þær. Byrjum með $$ \begin{align} \sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x, \quad (1) \end{align} $$ hefjum upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerkið og fáum $$ \begin{align} a-\sqrt{a+x}=x^2. \quad (2) \end{align} $$ Snyrtum til, $$ \begin{align} \sqrt{a+x}=a-x^2, \quad (3) \end{align} $$ hefjum aftur upp í annað veldi og fáum $$ \begin{align} a+x=x^4-2ax^2+a^2. \quad (4) \end{align} $$ Við höfum nú fengið eftirfarandi jöfnu $$ \begin{align} x^4-2ax^2-x+a^2-a=0. \quad (5) \end{align} $$ Þegar við hefjum svona upp í annað veldi báðum megin við jafnaðarmerki þá verðum við að gæta sérstakrar varúðar því upplýsingar um formerki týnast, til dæmis er engin leið að sjá af jöfnu $(2)$ að $x\geq 0$ sem er þó augljóst af jöfnu $(1)$. Þegar við förum yfir reikningana sjáum við að $x$ verður ekki einungis að vera lausn á $(5)$ heldur verður einnig að gilda að $x\geq 0$ og að $a\geq x^2$ (sbr. jöfnu $(3)$). Nú koma tvær leiðir til greina.

(a) Hugsum um $(5)$ sem annars stigs jöfnu í $a$, $$a^2-(2x^2+1)a+x^4-x=0.$$ Leysum þessa jöfnu og fáum tvær lausnir $$ a=\frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x^2+1)^2-4(x^4-x)}}{2} = \frac{2x^2+1\pm\sqrt{(2x+1)^2}}{2}. $$ Einföldum og fáum þá annars vegar $$a=x^2-x,$$ og hinsvegar $$a=x^2+x+1.$$ Tilfellið $a=x^2-x$ kemur ekki til greina, því ef við stingum inn fyrir $a$ í jöfnu $(3)$ fæst $|x|=-x$ svo $x\lt 0$ í mótsögn við að $x\geq 0$. Við leysum fyrir $x$ í $a=x^2+x+1$ og fáum $$ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(1-a)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2} $$ Lausnin $x=-(1+\sqrt{4a-3})/2$ kemur hinsvegar ekki til greina þar sem hún er neikvæð. Við athugum nú hvort $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ sé lausn $(1)$. Til þess þurfum við að ganga úr skugga um að $x\gt 0$ og að $x^2\leq a$. Þar sem $a\geq 1$, þá er $4a-3\geq 1$ svo $x\geq 0$. Einnig er $$a-x^2=a-\frac{4a-2-2\sqrt{4a-3}}{4}=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}\gt 0.$$ Höfum því að $x=(-1+\sqrt{4a-3})/2$ er eina lausn $(1)$.

(b) Þáttum margliðuna á vinstri hlið $(5)$ í tvær annars stigs margliður. Eftir svolitla umhugsun gætum við búist við að fyrsti liður í þeim báðum verði $x^2$, miðliður $x$ með mismunandi formerkjum og síðasti liður í annarri $a$ og í hinni $a-1$. Með þessa vitneskju í farteskinu getum við sett upp tvo sviga og svo reynt að stilla af formerkin þannig að rétt útkoma fáist. Fáum að $$ (x^2-x-a)(x^2+x-(a-1))=x^4-2ax^2-x+a^2-a. $$ Við getum svo haldið áfram eins og í lið (a).