Um rununa $\{ a_n\}$ er gefið að

$$a_{n+1}=\dfrac {a_n}{1+na_n} \quad\quad \text{ og } \quad\quad a_1=1.$$ Finnið $a_{1996}$.

Lausn

Setjum $b_n=1/a_n$. Þá er

$$b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+n a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}+n=b_n+n.$$ Með einfaldri þrepasönnun fæst að $$b_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k=1+\frac{1}{2}n(n-1)$$ og þar með að $a_n=\frac{2}{2+n(n-1)}$. Svarið er því $$\begin{aligned} a_{1996}&=\frac{2}{2+1996\cdot 1995} =\frac{2}{2+(2000-4)(2000-5)}\\ &=\frac{2}{2+4.000.000-18.000+20} =\frac{1}{2.000.000-9.000+11}\\ &=\frac{1}{1.991.011} \end{aligned}$$