- Brot
Almenn brot
Í þessari grein látum við $a$ og $b$ standa fyrir einhverjar ákveðnar náttúrulegar tölur, þar sem $b$ er ekki $0$.
Skilgreining á almennu broti
Gerum ráð fyrir að einhver tiltekin heild sé gefin. Þessi heild getur til dæmis verið svæði eins og rétthyrningur eða hringur, hún getur verið hópur af hlutum eins og eplum, appelsínum eða mönnum, o.s.frv. Í bili skulum við gera ráð fyrir að heildin sé rétthyrningurinn á myndinni að neðan.
Við skilgreindum stofnbrotið $\frac1b$ til að svara eftirfarandi spurningu:
Ef tiltekinni heild er skipt í $b$ jafna hluta, hver er þá stærð hvers hluta miðað við heildina?
Með öðrum orðum hefur sérhver hluti á myndinni að neðan stærðina $\frac1b$ miðað við heildina.
Hér höfum við áhuga á að svara aðeins almennari spurningu:
Ef heildinni er skipt í $b$ jafna hluta, hver er þá stærð $a$ slíkra hluta miðað við heildina?
Til að svara spurningunni innleiðum við táknið $\frac{a}b$, sem við lesum „$a$ á móti $b$“ eða „$a$ $b$-tu“. Við látum sem sagt $\frac{a}b$ tákna stærð dökka svæðisins á myndinni að neðan miðað við heildina.
Í samræmi við umfjöllunina að framan skilgreinum við almennt brot á eftirfarandi hátt:
Skilgreining:
Gerum ráð fyrir að tiltekinni heild sé skipt í $b$ jafna hluta. Þá táknum við stærð $a$ slíkra hluta miðað við heildina með $\frac{a}b$. Einnig segjum við að þessir $a$ hlutar séu $\frac{a}b$ af heildinni.
Táknið $\frac{a}b$ köllum við almennt brot. Töluna $b$, sem segir til um fjölda hluta sem heildinni er skipt í, köllum við nefnara brotsins $\frac{a}b$. Töluna $a$, sem segir til um fjölda hluta sem brotið $\frac{a}b$ lýsir, köllum við teljara þess.
Ástæða þess að táknið $\frac{a}b$ er kallað almennt brot er að skilgreiningin hér að ofan er almennari útgáfa af skilgreiningunni á stofnbroti. Við getum nefnilega litið á stofnbrot sem almennt brot með teljarann $1$. Oftast leyfum við okkur þó að tala um $\frac{a}b$ sem „brot“ í stað þess að segja að það sé „almennt brot“, enda er engin hætta á misskilningi.
Tvö brot, sem hafa ekki sama teljara og nefnara, geta samt sem áður lýst sömu stærðinni miðað við heildina. Í því tilviki segjum við að brotin séu jöfn.
Dæmi: Látum heildina vera rétthyrninginn á myndinni að neðan og skiptum henni í $4$ jafna hluta. Þá getum við annaðhvort sagt að stærð $3$ slíkra hluta miðað við heildina sé $\frac34$, eða að þessir $3$ hlutar séu $\frac34$ af heildinni. Með öðrum orðum getum við annaðhvort sagt að dökka svæðið á myndinni að neðan hafi stærðina $\frac34$ miðað við heildina, eða að það sé $\frac34$ af heildinni.
Á sama hátt getum við sagt að stærð $7$ slíkra hluta miðað við heildina sé $\frac74$, eða að þessir $7$ hlutar séu $\frac74$ af heildinni. Ef við viljum sjá fyrir okkur svæði sem hefur þessa stærð miðað við heildina, þá nægir ekki að hafa aðeins eitt eintak af heildinni, því þar komast í mesta lagi $4$ hlutar fyrir, eins og sést af myndinni að ofan. Þess vegna þurfum við að bæta við öðru eintaki af heildinni, eins og gert er á myndinni að neðan. Að því loknu getum við skyggt $7$ hluta og sagt að stærð dökka svæðisins á myndinni miðað við heildina sé $\frac74$, eða að það sé $\frac74$ af heildinni.
Dæmi: Gerum nú ráð fyrir að heildin sé hringurinn á myndinni að neðan og skiptum henni í $6$ jafna hluta. Þá er annaðhvort hægt að segja að stærð $2$ slíkra hluta miðað við heildina sé $\frac26$, eða að þessir $2$ hlutar séu $\frac26$ af heildinni. Með öðrum orðum er annaðhvort hægt að segja að dökka svæðið á myndinni að neðan hafi stærðina $\frac26$ miðað við heildina, eða að það sé $\frac26$ af heildinni.
Eins getum við sagt að stærð $13$ slíkra hluta miðað við heildina sé $\frac{13}6$, eða að þessir $13$ hlutar séu $\frac{13}6$ af heildinni. Ef við viljum sjá fyrir okkur svæði sem hefur þessa stærð miðað við heildina, þá þurfum við að bæta við tveimur eintökum af heildinni, eins og gert er á myndinni að neðan. Að því loknu getum við skyggt $13$ hluta og sagt að stærð dökka svæðisins miðað við heildina sé $\frac{13}6$, eða að það sé $\frac{13}6$ af heildinni.
Dæmi: Látum heildina loks vera hóp af $35$ appelsínum, og skiptum henni í $5$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir.
Ef við sameinum þrjá af þessum hlutum, eins og myndin að neðan sýnir, getum við sagt að stærð þeirra miðað við heildina sé $\frac35$, eða að þeir séu $\frac35$ af heildinni.
Þar sem hlutarnir hafa samtals $3 \cdot 7 = 21$ appelsínu er líka hægt að segja að $21$ appelsína sé $\frac35$ af $35$ appelsínum.
Ef við sameinum nú átta hluta af fyrstu myndinni, eins og myndin að neðan sýnir, getum við sagt að stærð þeirra miðað við heildina sé $\frac85$, eða að þeir séu $\frac85$ af heildinni.
Þar sem þessir hlutar hafa samtals $8 \cdot 7 = 56$ appelsínur er líka hægt að segja að $56$ appelsínur séu $\frac85$ af $35$ appelsínum.