Látum f:X→Y vera fall þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að f sé minnkandi ef það umhverfir röðun stakanna í X, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu X: Efx1≤x2,þá erf(x1)≥f(x2).
Sagt er að f sé stranglega minnkandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt: Efx1<x2,þá erf(x1)>f(x2),
Munurinn á minnkandi og stranglega minnkandi föllum er sá að ef f er minnkandi má fallgildið f(x) haldast jafnt eftir því sem x stækkar en ef f er stranglega minnkandi verður f(x) að minnka. Með öðrum orðum eru stranglega minnkandi föll eintæk á meðan minnkandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er minnkandi en ekki stranglega minnkandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega minnkandi.
Eins og fram kemur að ofan er sérhvert stranglega minnkandi fall f:X→Y eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan f−1:Y→X líka stranglega minnkandi.
Dæmi:
- Sýnum að fallið f:R→R; f(x)=−2x+3 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2∈R með x2−x1>0 og athugum:
f(x2)−f(x1)=(−2x2+3)−(−2x1+3)=−2(x2−x1)<0,því samkvæmt forsendu er (x2−x1)>0. Þetta sýnir að f er stranglega minnkandi.
- Sýnum að fallið g:R−→R; g(x)=x2 sé stranglega minnkandi. Látum því x1,x2∈R− með x2−x1>0 og athugum:
g(x2)−g(x1)=x22−x21=(x2+x1)(x2−x1)<0,því sviginn (x2+x1) er neikvæður þar sem x1,x2∈R− og sviginn (x2−x1) er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að g er stranglega minnkandi.