Hugtakasafn

Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé minnkandi ef það umhverfir röðun stakanna í $X$, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu $X$:

$$Ef\; x_1 \leq x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \geq f(x_2).$$ Með öðrum orðum er $f$ minnkandi ef fallgildið $f(x)$ helst jafnt eða minnkar eftir því sem $x$ stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé minnkandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: $$Ef \; x_2 - x_1 \geq 0, \text{þá er} \; f(x_2) - f(x_1) \leq 0.$$ Fall $f$ er minnkandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er vaxandi.

Sagt er að $f$ sé stranglega minnkandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt:

$$Ef \; x_1 \lt x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \gt f(x_2),$$ Með öðrum orðum er $f$ stranglega minnkandi ef fallgildið $f(x)$ minnkar eftir því sem $x$ stækkar og sérhvert stranglega minnkandi fall er því sér í lagi minnkandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: $$Ef \; x_2 - x_1 \gt 0, \text{þá er}\; f(x_2) - f(x_1) \lt 0.$$ Fall $f$ er stranglega minnkandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er stranglega vaxandi.

Munurinn á minnkandi og stranglega minnkandi föllum er sá að ef $f$ er minnkandi má fallgildið $f(x)$ haldast jafnt eftir því sem $x$ stækkar en ef $f$ er stranglega minnkandi verður $f(x)$ að minnka. Með öðrum orðum eru stranglega minnkandi föll eintæk á meðan minnkandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er minnkandi en ekki stranglega minnkandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega minnkandi.

Eins og fram kemur að ofan er sérhvert stranglega minnkandi fall $f: X \to Y$ eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan $f^{-1}: Y \to X$ líka stranglega minnkandi.