Hugtakasafn

Í evklíðskri sléttu má staðsetja punkta sléttunnar með því að tilgreina fjarlægð þeirra og stefnu séð frá gefnum punkti $O$ sem er kallaður skaut eða póll. Slíkt hnitakerfi kallast skauthnit á sléttunni. Þessu verður nú lýst nánar.

Látum evklíðska sléttu með karteskum hnitum vera gefna. Látum $O=(0,0)$ vera upphafspunkt karteska hnitakerfisins og $E=(1,0)$ vera einingarpunktinn á $x$-ásnum. Ef $P=(x,y)$ er punktur í sléttunni, þá mælir \[r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\] fjarlægð $P$ frá $O$. Stefnu $P$ séð frá $O$ má tilgreina með bogamáli hornsins $\angle EOP$, sem við köllum stefnuhorn punktsins $P$. Ef $P$ liggur ekki á neikvæða $x$-ásnum, þá liggur stefnuhornið á bilinu $\left]-\pi,\pi\right[$ og það er gefið með \[\theta = \begin{cases} \arccos\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right) & \text{ef $y \geq 0$},\\ -\arccos\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right) & \text{ef $y\leq 0$}. \end{cases}\] Skauthnit punktsins $P=(x,y)$ eru því gefin með tvenndinni $(r,\theta)_s$.

Ekki er hægt að útvíkka skilgreininguna á stefnuhorni með skynsamlegum hætti fyrir punkta á neikvæða $x$-ásnum eða skautpunktinn $O$. Hinsvegar má snúa hnitakerfinu, og undanskilja í staðinn einhvera aðra hálflínu út frá $O$. Þannig mætti til dæmis láta stefnuhornið vera á bilinu $\left]-\pi/2,3\pi/2\right[$ og undanskilja í staðinn neikvæða hluta $y$-ássins.

Ef punktur hefur skauthnit $(r,\theta)_s$, þá eru kartesk hnit hans gefin með \[x=r\,\cos\,\theta\qquad\text{og}\qquad y=r\,\sin\,\theta.\]