Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Látum f:XY vera vörpun. Sagt er að fandhverfanleg ef til er vörpun g:YX þannig að samskeyting varpananna f og g annars vegar og g og f hins vegar sé viðeigandi samsemdarvörpun, þ.e. gf=idXogfg=idY.()

Ef slík vörpun g er til ákvarðast hún ótvírætt af þessum skilyrðum. Hún kallast þá andhverfa vörpunarinnar f og er yfirleitt táknuð með f1. Vörpun f:XY er andhverfanleg ef og aðeins ef hún er gagntæk.

Skilyrðin tvö í () að ofan segja með öðrum orðum að fyrir sérhver xX og yY gildi að f1(f(x))=xogf(f1(y))=y. Þetta sýnir að andhverfan f1 hefur einmitt öfuga verkun við f, því f varpar stakinu xX í stakið f(x)Y og f1 varpar stakinu f(x) aftur í upphaflega stakið x skv. fyrri jöfnunni. Sömuleiðis hefur f öfuga verkun við f1, því f1 varpar stakinu yY í stakið f1(y)X og f varpar stakinu f1(y) aftur í upphaflega stakið y skv. seinni jöfnunni. Áhrifin af því að beita f og f1 hvorri á eftir annarri eru því engin, sem endurspeglast í Venn-myndinni að neðan.

Forskrift andhverfu

Jafnan f1(f(x))=x að ofan segir að forskrift andhverfunnar f1:YX sé gefin með f1(y)=x, þar sem x er það stak úr X sem uppfyllir y=f(x). Til að finna forskrift andhverfunnar þarf því fyrir sérhvert y úr Y að finna það stak x úr X sem uppfyllir y=f(x), þ.e. leysa þarf jöfnuna y=f(x) með tilliti til x.

Dæmi:   Fallið f:RR; f(x)=3x2 er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfunnar f1:RR fæst með því að leysa jöfnuna y=3x2 með tilliti til x. En y=3x2 gefur strax að 3x=y+2 og þar með x=13y+23, svo forskriftin er f1(y)=13y+23.

Dæmi:   Fallið g:[0,[[0,[; g(x)=x2 er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfurfunnar g1:[0,[[0,[ fæst með því að leysa jöfnuna y=x2 með tilliti til x. En y=x2 gefur strax að x=±y og þar sem x[0,[ er ljóst að x=y. Forskriftin er því g1(y)=y.

Graf andhverfu

Fyrir sérhvert andhverfanlegt fall f:XY, þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna, fæst graf andhverfunnar f1:YX með því að spegla grafi f um línuna y=x.

Dæmi:   Fyrri myndin að neðan sýnir graf fallsins f:RR; f(x)=3x2 og andhverfu þess f1:RR; f1(y)=13y+23 úr fyrra dæminu að ofan. Seinni myndin sýnir graf fallsins g:[0,[[0,[; g(x)=x2 og andhverfu þess g1:[0,[[0,[; g1(y)=y úr seinna dæminu að ofan.

Andhverfa samskeytingar

Ef f:XY og g:YZ eru andhverfanlegar varpanir, þá er samskeytingin gf:XZ andhverfanleg og andhverfa hennar (gf)1:ZX er gefin með jöfnunni (gf)1=f1g1.

Venn-myndin að neðan sýnir hvernig jafnan er fengin.