Látum f:X→Y vera vörpun. Sagt er að f sé andhverfanleg ef til er vörpun g:Y→X þannig að samskeyting varpananna f og g annars vegar og g og f hins vegar sé viðeigandi samsemdarvörpun, þ.e. g∘f=idXogf∘g=idY.(∗)
Ef slík vörpun g er til ákvarðast hún ótvírætt af þessum skilyrðum. Hún kallast þá andhverfa vörpunarinnar f og er yfirleitt táknuð með f−1. Vörpun f:X→Y er andhverfanleg ef og aðeins ef hún er gagntæk.
Skilyrðin tvö í (∗) að ofan segja með öðrum orðum að fyrir sérhver x∈X og y∈Y gildi að f−1(f(x))=xogf(f−1(y))=y. Þetta sýnir að andhverfan f−1 hefur einmitt öfuga verkun við f, því f varpar stakinu x∈X í stakið f(x)∈Y og f−1 varpar stakinu f(x) aftur í upphaflega stakið x skv. fyrri jöfnunni. Sömuleiðis hefur f öfuga verkun við f−1, því f−1 varpar stakinu y∈Y í stakið f−1(y)∈X og f varpar stakinu f−1(y) aftur í upphaflega stakið y skv. seinni jöfnunni. Áhrifin af því að beita f og f−1 hvorri á eftir annarri eru því engin, sem endurspeglast í Venn-myndinni að neðan.
Forskrift andhverfu
Jafnan f−1(f(x))=x að ofan segir að forskrift andhverfunnar f−1:Y→X sé gefin með f−1(y)=x, þar sem x er það stak úr X sem uppfyllir y=f(x). Til að finna forskrift andhverfunnar þarf því fyrir sérhvert y úr Y að finna það stak x úr X sem uppfyllir y=f(x), þ.e. leysa þarf jöfnuna y=f(x) með tilliti til x.
Dæmi: Fallið f:R→R; f(x)=3x−2 er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfunnar f−1:R→R fæst með því að leysa jöfnuna y=3x−2 með tilliti til x. En y=3x−2 gefur strax að 3x=y+2 og þar með x=13y+23, svo forskriftin er f−1(y)=13y+23.
Dæmi: Fallið g:[0,∞[→[0,∞[; g(x)=x2 er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfurfunnar g−1:[0,∞[→[0,∞[ fæst með því að leysa jöfnuna y=x2 með tilliti til x. En y=x2 gefur strax að x=±√y og þar sem x∈[0,∞[ er ljóst að x=√y. Forskriftin er því g−1(y)=√y.
Graf andhverfu
Fyrir sérhvert andhverfanlegt fall f:X→Y, þar sem X og Y eru hlutmengi í mengi rauntalna, fæst graf andhverfunnar f−1:Y→X með því að spegla grafi f um línuna y=x.
Dæmi: Fyrri myndin að neðan sýnir graf fallsins f:R→R; f(x)=3x−2 og andhverfu þess f−1:R→R; f−1(y)=13y+23 úr fyrra dæminu að ofan. Seinni myndin sýnir graf fallsins g:[0,∞[→[0,∞[; g(x)=x2 og andhverfu þess g−1:[0,∞[→[0,∞[; g−1(y)=√y úr seinna dæminu að ofan.
Andhverfa samskeytingar
Ef f:X→Y og g:Y→Z eru andhverfanlegar varpanir, þá er samskeytingin g∘f:X→Z andhverfanleg og andhverfa hennar (g∘f)−1:Z→X er gefin með jöfnunni (g∘f)−1=f−1∘g−1.
Venn-myndin að neðan sýnir hvernig jafnan er fengin.