Hlutmengi $I$ í mengi rauntalna kallast bil ef fyrir sérhver $x, y \in I$ og $z \in \mathbb{R}$ þannig að $x \lt z \lt y$ gildir að $z \in I$. Bil geta ýmist afmarkast af tveimur rauntölum, einni eða engri og þannig má skipta þeim í þrjá hópa.
Tveir endapunktar
Bil sem afmarkast af tveimur rauntölum $a$ og $b$ eru oft kölluð bil frá $a$ til $b$. Þau samanstanda af öllum rauntölum sem liggja á milli $a$ og $b$ á talnalínunni og kallast $a$ og $b$ endapunktar þeirra. Endapunktarnir geta ýmist báðir, annar eða hvorugur tilheyrt bilunum og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan.
| Bilið frá $a$ til $b$ sem inniheldur báða endapunktana er táknað með $[a, b]$ og það má rita á forminu \[ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}. \] | ||
| Bilið frá $a$ til $b$ sem inniheldur vinstri endapunktinn en hægri ekki er táknað með $[a, b[$ og það má rita á forminu \[ [a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \lt b\}. \] | ||
| Bilið frá $a$ til $b$ sem inniheldur hægri endapunktinn en vinstri ekki er táknað með $]a, b]$ og það má rita á forminu \[ ]a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \leq b\}. \] | ||
| Bilið frá $a$ til $b$ sem inniheldur hvorugan endapunktinn er táknað með $]a, b[$ og það má rita á forminu \[ ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b\}. \] |
Einn endapunktur
Bil sem afmarkast af einni rauntölu $a$ eru oft kölluð hálflínur og þau skiptast í tvo hópa: Annars vegar bil frá $a$ til óendanlegs, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir ofan $a$ á talnalínunni, og hins vegar bil frá mínus óendanlegu til $a$, sem samanstanda af öllum rauntölum sem liggja fyrir neðan $a$.
Sem áður kallast $a$ endapunktur bilanna. Hann getur ýmist tilheyrt bilunum eða ekki og þannig fást fjórar ólíkar gerðir sem taldar eru upp hér að neðan. Táknið $\infty$ er notað til að tákna óendanleikann.
| Bilið frá $a$ til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn er táknað með $[a, \infty[$ og það má rita á forminu \[ [a, \infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x\}. \] | ||
| Bilið frá $a$ til óendanlegs sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með $]a, \infty[$ og það má rita á forminu \[ ]a, \infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x\}. \] | ||
| Bilið frá mínus óendanlegu til $a$ sem inniheldur endapunktinn er táknað með $]-\infty, a]$ og það má rita á forminu \[ ]-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq a\}. \] | ||
| Bilið frá mínus óendanlegu til $a$ sem inniheldur endapunktinn ekki er táknað með $]-\infty, a[$ og það má rita á forminu \[ ]-\infty, a[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \lt a\}. \] |
Enginn endapunktur
Einu bilin sem hafa engan endapunkt eru annars vegar tóma mengið og hins vegar allt mengi rauntalna. Með biltáknmáli má rita mengi rauntalna á forminu $\mathbb{R} = ]-\infty, \infty[$.
Orðfæri
Vert er að minnast á eftirfarandi hugtök sem oft eru notuð þegar rætt er um bil:
- Bilin $]a, b[$, $]a, \infty[$, $]-\infty, a[$ og $\mathbb{R}$, sem innihalda engan endapunkta sinna, kallast opin.
- Bilin $[a, b[$ og $]a, b]$, sem innihalda annan endapunkta sinna en hinn ekki, kallast hálf-opin.
- Bilin $[a, b]$, $[a, \infty[$, $]-\infty, a]$ og $\mathbb{R}$, sem innihalda alla endapunkta sína, kallast lokuð.