Tökum einhvern nemanda $A$. Fyrst skulum við gera ráð fyrir að ekki sé til nemandi $B$ þannig $B$ læri ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá lærir sérhver nemandi að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ lærir. Því má skipta nemendunum í hópa, jafnmarga og tungumálin eru sem $A$ lærir þannig að allir nemendurnir í hverjum hópi læri eitthvert tiltekið mál sem $A$ lærir. Nú lærir $A$ í mesta lagi $5$ tungumál og þegar $1000$ nemendum er skipt í hópa, $5$ eða færri, þá er gulltryggt að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.

Gerum nú ráð fyrir að til sé nemandi $B$ sem lærir ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá segir skilyrðið í dæminu okkur að allir nemendur skólans læri að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ og $B$ læra. Samanlagt læra $A$ og $B$ í mesta lagi $10$ tungumál. Nú getum við eins og áður skipt nemendunum í hópa, ekki fleiri en $10$, þannig að allir nemendur í sama hópi læri eitthvert tiltekið tungumál sem annaðhvort $A$ eða $B$ læra. Þá er ljóst að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.

Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.

Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.