Ef $3t-1=s-3$, þá er $t-3$ jafnt
Ef $3t-1=s-3$, þá er $t=\frac{1}{3}(s-2)$ og því $$t-3=\frac{s-2}{3}-3=\frac{s-11}{3}.$$
Flatarmál stærsta þríhyrnings sem má innrita í hálfhring með geisla $r$ er
Látum $PQ$ vera miðstreng hrings með geisla $r$ og $O$ vera miðpunkt hans. Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrnings sem liggja á strikinu $PQ$ eða á hringnum þannig að engir tveir punktar séu hvor sínu megin við strikið $PQ$. Ef tveir hornpunkta þríhyrningsins eru á strikinu $PQ$, segjum $A$ og $B$, þá er $|AB|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AB$ getur ekki verið meiri en $r$. Flatarmál þríhyrningsins er því ekki stærra en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef hinsvegar tveir hornpunktar þríhyrningsins liggja á hringnum, segjum $A$ og $B$, og $C$ liggur á strikinu $PQ$, þá er annaðhvort $O=C$ eða $O$ liggur innaní öðru hornanna $\angle CAB$ eða $\angle ABC$, segjum $\angle CAB$. Í báðum tilfellum drögum við línuna gegnum $O$ samsíða $BC$. Þá sjáum við að hæðin á hliðina $CB$ er ekki stærri en $r$ og $|BC|\leq 2r$ svo flatarmál þríhyrningsins er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef allir punktarnir $A$, $B$ og $C$ eru á hringnum, segjum í röðinni $P$, $A$, $B$, $C$, $Q$, þá drögum við línuna í gegnum $O$ samsíða strikinu $AC$. Þá er þríhyrningurinn áfram allur sömu megin við nýju línuna og við getum því gert ráð fyrir að $AC$ sé samsíða $PQ$. En þá er ljóst að $|AC|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AC$ er minni en $r$ svo flatarmál $ABC$ er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Höfum nú séð að flatarmál þríhyrningsins $ABC$ getur aldrei orðið meira en $r^2$. Það getur hinsvegar verið jafnt $r^2$ því ef $R$ er annar skurðpunkta hringsins við þverilinn á $PQ$ í $O$, þá er flatarmál $PQR$ einmitt $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$.
Allar heilu tölurnar frá $1$ og upp í $1.000.000$ eru prentaðar út. Hve oft kemur tölustafurinn $5$ fyrir?
Hægt er að telja hve oft $5$ kemur fyrir í eins stafs tölum, tveggja stafa tölum og svo framvegis. Það má hinsvegar einnig komast hjá þeirri talningu með eftirfarandi röksemdarfærslu. Athugum að við þurfum ekki að hafa áhyggjur af tölunni $1.000.000$, því í henni kemur tölustafurinn $5$ hvergi fyrir. Því getum við gert ráð fyrir að hún sé ekki á listanum, en í staðin skulum við bæta $0$ fremst í listann þannig að við prentum út $1.000.000$ tölur eftir sem áður. Hugsum okkur að við prentum núll fremst í tölunum þannig að allar verði þær $6$ stafa langar. Þannig prentum við til dæmis $000555$ þar sem talan $555$ á að koma. Tölustafurinn $5$ kemur jafnoft fyrir á þessum lista eins og þeim upphaflega. Í allt þá prentum við út $6\cdot 1.000.000$ tölustafi og tölustafurinn $5$ kemur jafnoft fyrir á þessum lista og hver hinna $9$ tölustafanna. Svarið er því $6.000.000/10=600.000$.
Þríhyrnt tún með hliðarlengdir $200$ m, $200$ m og $300$ m er girt. Á milli girðingarstaura eru $5$ m. Hversu marga staura þarf?
Á 200 m hliðarnar þarf 41 staur en á 300 m hliðina þarf 61 staur. Hver hornstauranna þriggja er sameiginlegur tveimur hliðum svo heildar fjöldi staura er $41+41+61-3=140$. Getum einnig hugsað okkur að við séum að girða svæði með ummál 700 m. Þá þarf augljóslega 140 staura.
Þegar $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ er einfaldað sést að þessi stærð er jöfn
Höfum að $$(x^{-1}+y^{-1})^{-1}= \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{-1}= \left(\frac{y+x}{xy}\right)^{-1}=\frac{xy}{x+y}.$$
Gefnar eru $n$ tölur, ein er jöfn $1-\frac{1}{n}$ og hinar eru allar jafnar $1$. Hvert er meðaltal talnanna?
Meðaltal talnanna er $$\frac{\big(1-\frac{1}{n}\big)+(n-1)\cdot 1}{n} =\frac{n-\frac{1}{n}}{n}=1-\frac{1}{n^2}.$$
Ef $2^a+2^b=3^c+3^d$, hve margar heilu talnanna $a , b , c , d$ geta þá verið $\lt 0$?
Með því að skipta hugsanlega um nöfn á $a$ og $b$ annarsvegar og $c$ og $d$ hinsvegar, þá getum við gert ráð fyrir að $a\geq b$ og $c\geq d$. Ef við umritum $2^a+2^b=3^c+3^d$ fáum við $$ 3^{-d}\left(1+2^{a-b}\right)=2^{-b}(1+3^{c-d})$$ og við veitum því athygli að $a-b\geq 0$ og $c-d\geq 0$.
Ef $d\lt 0$, þá er $3^{-d}$ heil tala svo við höfum heila tölu á vinstri hlið og því er $3^{-d}$ þáttur í $1+3^{c-d}$. Þá er til heil tala $k$ þannig að $k3^{-d}=1+3^{c-d}$ og þar sem 3 er þáttur í $k3^{-d}$ en ekki í 1, þá er 3 ekki þáttur í $3^{c-d}$ og því $c=d$. En þá er $k3^{-d}=2$ svo 3 er þáttur í 2 sem er mótsögn. Því er $d\geq 0$ og þá einnig $c\geq 0$ því $c\geq d$.
Ef $b\lt 0$ förum við svipað að. Höfum þá að $2^{-b}$ er þáttur í $1+2^{a-b}$ og því $a=b$. Þá er $2^{-b}$ þáttur í 2 og þar sem $b\neq 0$ þá er $b=-1$ svo að $2^a+2^b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. En þá er $1=3^c+3^d=3^{d}(1+3^{c-d})$ og þar sem við höfum þegar séð að $d\geq 0$ sjáum við að $d=0$, annars væri 3 þáttur í 1. Þá er $1=1+3^{c-d}$ svo $3^{c-d}=0$ sem stenst ekki. Því er $b\geq 0$ og þá einnig $a\geq 0$ því $a\geq b$.
Höfum þá séð að engin talnanna $a$, $b$, $c$ og $d$ getur verið minni en $0$.
Þegar grunnlína þríhyrnings er lengd um $10\%$ og hæð hans á grunnlínu er minnkuð um $10\%$, þá verður flatarmálið
Táknum lengd grunnlínu í upphaflega þríhyrningnum með $g$ og hæðina á hana með $h$. Flatmál upphaflega þríhyrningsins er $F_0=\frac{1}{2}gh$. Grunnlína nýja þríhyrningsins er $1,1\cdot g$ og hæðin á hana er $0,9\cdot h$. Flatarmál nýja þríhyrningsins er þá $\frac{1}{2}(1,1\cdot g)(0,9\cdot h)=\text{0,99}\cdot\frac{1}{2}gh = \text{0,99}\cdot F_0$ eða $1\%$ minna en flatarmál þess upphaflega.
Talan $\left(0,1 + \frac{1}{0,1}\right)^2$ er jöfn
Höfum að $$\left(0,1+\frac{1}{0,1}\right)^2=(0,1+10)^2 =0,01+2+100=102,01.$$
Gildið á $6(12-3^2)-14$ er
Höfum að $$6(12-3^2)-14=6(12-9)-14=6\cdot 3-14=18-14=4.$$
